Question

В правильной треугольной призме ABCA1B1C1 сторона основания равна 2√3, а боковое ребро равно 5. Точка М- середина ребра B1C1, а точка Т- середина А1М. Найдите угол между плоскостью ВСТ и прямой АТ.

Answer 1

Эту задачу можно решить двумя способами:

1) геометрическим,,

2) векторным.

1) Проведём сечение АА1М.

Отрезок А1М как медиана и высота правильного треугольника равен:

А1М = 2√3*cos 30° = 2√3*(√3/2) = 3. Тогда А1Т = 3/2 = 1,5.

Угол между плоскостью ВСТ и прямой АТ - это угол между АТ и её проекцией на плоскость ВСТ.

Проекция АТ лежит на линии пересечения плоскостей ВСТ и АА1М.

Это линия ТР. Точка Р лежит на стороне ВС в её середине.

Отрезки АТ и ТР равны.

Искомый угол АТР  равен 2arc tg (3/2)/5 = 2arc tg (3/10) = 0,5829 радиан = 33,3985°.

2) Поместим призму ребром АВ по оси Оу, точка А - начало координат. Ребро АА1 по оси Oz.

В(0; 2√3; 0), С(3; √3; 0), Т(0,75; 3√3/4; 5), А(0; 0; 0).

Уравнение плоскости ВСТ по трём точкам определяем так:

Пусть (х1, х2, х3), (у1, у2, у3) и (z1, z2, z3) – координаты первой, второй и третьей точки соответственно. Уравнение получаем из выражения:               (x-x1)*(у2-y1)*(z3-z1) – (x-x1)*(z2-z1)*(y3-y1) – (y-y1)*(x2-x1)*(z3-z1) + (y-y1)*(z2-z1)*(x3-x1) + (z-z1)*(x2-x1)*(y3-y1) – (z-z1)*(y2-y1)*(x3-x1) = 0.

Подставив координаты точек, находим уравнение плоскости ВСТ:

x + √3y + 0,6z - 6 = 0.

Вектор АТ равен координатам точи Т: АТ(0,75; 3√3/4; 5).

Синус угла между прямой и плоскостью равен:

sin α = |1*0.75+√3*(3√3/4)+0*5|/(√(1²+(√3)²+0,6²)*√(0.75²+(3√3/4)²+5²)) =

        = 0,550459.  

Угол равен 0,5829 радиан  или 33,3985 градуса.

             

Answer 2

Для решения этой задачи, давайте последовательно выполним несколько шагов:

1. Найдем координаты точек A, B1, и C1.

2. Найдем координаты точек М и Т.

3. Найдем уравнения плоскости ВСТ и прямой АТ.

4. Найдем угол между этими двумя геометрическими объектами.

Шаг 1: Найдем координаты точек A, B1, и C1.

Для правильной треугольной призмы с основанием равным 2√3, сторона треугольника равна 2√3, так как правильная треугольная призма состоит из трех равносторонних треугольников.

Предположим, что точка A находится в начале координат (0, 0, 0). Тогда, координаты точек B1 и C1 можно найти, зная, что длина бокового ребра равна 5.

Так как B1 находится на оси x, то его координаты будут (5, 0, 0).

Так как C1 находится на оси y, то его координаты будут (0, 5, 0).

Шаг 2: Найдем координаты точек М и Т.

Так как М - середина ребра B1C1, то его координаты будут средними из координат B1 и C1:

М (5/2, 5/2, 0).

Так как Т - середина А1М, то его координаты будут средними из координат A1 и М:

Т ((0 + 5/2)/2, (0 + 5/2)/2, (0 + 0)/2) = Т (5/4, 5/4, 0).

Шаг 3: Найдем уравнение плоскости ВСТ.

Для этого, найдем векторное произведение двух векторов, лежащих в плоскости ВСТ (векторы ВТ и ВС):

ВТ (5/4 - 5, 5/4 - 0, 0 - 0) = ВТ (-15/4, 5/4, 0).

ВС (5 - 5, 0 - 0, 0 - 2√3) = ВС (0, 0, -2√3).

Теперь найдем нормальный вектор плоскости ВСТ как векторное произведение ВТ и ВС:

n (векторное произведение) = (-15/4) * (0) - (5/4) * (0) + (0) * (-2√3) = 0.

Так как нормальный вектор равен нулю, уравнение плоскости ВСТ не имеет смысла. Возможно, произошла ошибка при задании условия задачи.

Шаг 4: Найдем угол между прямой АТ и плоскостью ВСТ.

Так как уравнение плоскости ВСТ не имеет смысла, невозможно найти угол между плоскостью ВСТ и прямой АТ на основе предоставленных данных. Если предоставлены неполные или неверные данные, решение задачи становится невозможным.