Question

В прямоугольном треугольнике ABC угол C=90 градусов,биссектриса BM в 2 раза больше расстояния от точки M до прямой AB.Катет BC=17см. Найдите гипотенузу AB

Answer 1

Пусть расстояние от точки М до АВ будет MD.

Треугольники BCM и BDM одинаковы по двум углам и общей стороне.

Пусть MD=СМ=x, тогда BM=2x

BC²=BM²-CM²

289=4x²-x²

x=17/√3

BM=2*17/√3=34/√3 см

Т.к. ВМ=2*МD, то угол MBD=30°, тогда угол B=30*2=60°

cosB=BC/AB

1/2=17/AB;

AB=17*2=34 см

Ответ: 34 см.

Answer 2

Для решения задачи в прямоугольном треугольнике ABC нам понадобится применить теорему Пифагора и свойства биссектрисы.

Обозначим гипотенузу AB как x (в см). Тогда длина катета AC также равна x (так как у нас прямоугольный треугольник).

По условию задачи, биссектриса BM делит угол C пополам, и BM в 2 раза больше расстояния от точки M до прямой AB. Пусть точка M делит AB на две равные части с длиной h (в см), тогда BM = 2h.

Теперь у нас есть два треугольника: BMC и AMC. В треугольнике BMC у нас есть катет BM (2h) и гипотенуза BC (17 см). Мы можем применить теорему Пифагора, чтобы найти длину катета MC:

(2h)^2 + MC^2 = 17^2.

Теперь рассмотрим треугольник AMC. У него есть катеты AM (h) и MC (найденный выше), и гипотенуза AC (x). Мы снова применим теорему Пифагора:

h^2 + MC^2 = x^2.

Но так как MC^2 в обоих уравнениях одинаковое, мы можем приравнять выражения и избавиться от MC^2:

(2h)^2 = 17^2 - h^2.

Упростим уравнение:

4h^2 = 289 - h^2.

5h^2 = 289.

Теперь найдем h^2:

h^2 = 289 / 5.

h = √(289 / 5) ≈ 8.54 см.

Теперь, когда мы знаем длину h, можем найти длину гипотенузы AB:

x^2 = h^2 + MC^2.

x^2 = (8.54)^2 + (2 * 8.54)^2.

x^2 = 73 + 290.

x^2 = 363.

x = √363 ≈ 19.07 см.

Таким образом, длина гипотенузы AB составляет примерно 19.07 см.