Question

Красивая задачка: Даны две окружности, которые пересекаются в точках M и N. Прямая m проходит по касательной в точках A и B этих окружностей. Прямая MN пересекает AB в точке К. а) Докажите, что точка персечений медиан треугольника АВМ лежит на прямой MN. б) найдите АК, если известно, что расстояние между центрами окружностей равно 17, а радиусы равны 20 и 5.​

Answer 1

.а)AB=8(по т пифагора)

тогда если АК=4, то МК-медиана треугольника АМВ,следовательно на ней лежит точка пересечения медиан треугольника, а значит и на MN лежит эта точка

(NK<MK/3)

Answer 2

Для доказательства первого утверждения (а) - что точка пересечения медиан треугольника АВМ лежит на прямой MN - мы воспользуемся свойствами медиан треугольника.

а) Докажем, что точка пересечения медиан треугольника АВМ лежит на прямой MN.

Пусть O1 и O2 - центры данных окружностей с радиусами R1 и R2 соответственно. Проведем медиану CM треугольника АВМ и пусть она пересекает прямую MN в точке P.

Так как CM - медиана треугольника АВМ, она делит сторону AB пополам. Обозначим точку пересечения CM и AB как D.

Теперь рассмотрим треугольник AMB. Он прямоугольный, так как АМ и ВМ - радиусы окружностей и, следовательно, перпендикулярны к касательной AB в точках A и B. Из прямоугольного треугольника AMB следует, что AM = MB = R1.

Также, поскольку D - середина AB, AM = MD = R1/2.

Теперь рассмотрим треугольник ADM. Медиана CM делит сторону AB пополам, поэтому DM = MB - MD = R1 - R1/2 = R1/2.

Теперь мы знаем, что AM = DM, что означает, что треугольник ADM равнобедренный. Таким образом, угол ADM равен углу MAD.

Рассмотрим треугольник АМD и треугольник ВМC. Они подобны, так как угол ADM равен углу MAD и угол BMC - это угол между касательной и радиусом, проведенным к точке касания, и, следовательно, он также равен углу MAD.

Таким образом, по критерию подобия треугольников (2 угла одного треугольника равны соответственным углам другого треугольника), треугольники АМD и ВМC подобны.

Отсюда получаем, что отношение сторон треугольников АМD и ВМC равно отношению радиусов соответствующих окружностей:

AD / VM = R1 / R2

Но AM = MB = R1, значит, AD = R1. Подставляем это в наше уравнение:

R1 / VM = R1 / R2

VM = R2

Таким образом, мы доказали, что длина VM равна радиусу второй окружности R2. Теперь мы знаем, что точка P, которая является точкой пересечения медиан треугольника АВМ, лежит на отрезке VM, а значит, лежит на прямой MN.

б) Теперь найдем длину АК.

Мы знаем, что AM = R1, VM = R2, а OM = 17 - см (расстояние между центрами окружностей).

По теореме Пифагора в прямоугольном треугольнике АМО:

AM^2 + OM^2 = AO^2 R1^2 + 17^2 = AO^2 AO^2 = R1^2 + 17^2 AO^2 = 20^2 + 17^2 AO^2 = 400 + 289 AO^2 = 689 AO = √689 ≈ 26.244

Теперь, чтобы найти АК, нам нужно найти MK. Поскольку треугольник АМК подобен треугольнику АОВ (по той же причине, что и ранее), то:

MK / AO = R2 / R1

MK = AO * (R2 / R1) MK ≈ 26.244 * (5 / 20) MK ≈ 26.244 * 0.25 MK ≈ 6.561

Теперь мы можем найти АК, зная, что AM = MK + AK:

AK = AM - MK AK = R1 - MK AK ≈ 20 - 6.561 AK ≈ 13.439

Таким образом, АК ≈ 13.439 см.