Question

У циліндрі паралельно до його осі проведено переріз, діагональ якого утворює з площиною нижньої основи кут φ. Цей переріз перетинає основу по хорді, яка стягує дугу α. Визначте бічну поверхню циліндра, якщо радіус його основи дорівнює R. Дуже прошу

Answer 1

Увага. Вiдповiдi по запису рiзнi, але мають однакове значення. Якщо у пiдручнику "э" вiдповiдь, то порiвняйте. Якщо вiдсутня, пишiть 2 спосiб, вiн коротше.

Answer 2

Запишемо умови задачі для зручності:

1. Радіус основи циліндра: R.
2. Діагональ перерізу (хорда нижньої основи): d.
3. Кут між діагоналлю і площиною нижньої основи (кут φ).
4. Дуга нижньої основи, яку стягує хорда: α.

Для вирішення цієї задачі розглянемо два трикутники. Перший трикутник - трикутник, утворений діагоналлю, радіусом і відрізком, який з'єднує центр основи з точкою перетину діагоналі і хорди. Другий трикутник - трикутник, утворений хордою, радіусом і відрізком між центром основи і точкою перетину діагоналі і хорди.

Позначимо:

1. Відрізок між центром основи і точкою перетину діагоналі і хорди: h.
2. Відрізок між точкою перетину діагоналі і хорди і однією з точок перетину хорди з основою (півдовжину хорди): a.

За теоремою косинусів для першого трикутника маємо:

$R^2 = \left(\frac{d}{2}\right)^2 + h^2 - 2 \cdot \frac{d}{2} \cdot h \cdot \cos{\varphi}$

За теоремою косинусів для другого трикутника маємо:

$R^2 = \left(\frac{d}{2}\right)^2 + a^2 - 2 \cdot \frac{d}{2} \cdot a \cdot \cos{\alpha}$

Оскільки обидва вирази дорівнюють $R^2$, зрівняємо їх:

$\left(\frac{d}{2}\right)^2 + h^2 - 2 \cdot \frac{d}{2} \cdot h \cdot \cos{\varphi} = \left(\frac{d}{2}\right)^2 + a^2 - 2 \cdot \frac{d}{2} \cdot a \cdot \cos{\alpha}$

Спростимо рівняння:

$h^2 - h \cdot d \cdot \cos{\varphi} = a^2 - a \cdot d \cdot \cos{\alpha}$

Знайдемо вираз для бічної поверхні циліндра:

$S_{\text{біч}} = \text{площа бокової поверхні циліндра} = \text{периметр основи} \cdot \text{висота} = 2\pi R \cdot h$

Тепер знайдемо значення h. Для цього візьмемо друге рівняння та виразимо h:

$h = \frac{a^2 - a \cdot d \cdot \cos{\alpha}}{d \cdot \cos{\varphi}}$

Тепер підставимо значення h у вираз для бічної поверхні:

$S_{\text{біч}} = 2\pi R \cdot \frac{a^2 - a \cdot d \cdot \cos{\alpha}}{d \cdot \cos{\varphi}}$

Остаточний вираз для бічної поверхні циліндра:

$S_{\text{біч}} = \frac{2\pi R}{d \cdot \cos{\varphi}} \cdot (a^2 - a \cdot d \cdot \cos{\alpha})$

Тепер залишається знайти значення a. Знову розглянемо трикутник з хордою і радіусом. Позначимо:

3. Половина довжини хорди: $l = \frac{d}{2}$.

Використаємо теорему синусів для цього трикутника:

$\frac{l}{\sin{\alpha}} = \frac{R}{\sin{\left(\frac{\pi}{2} - \varphi\right)}} = \frac{R}{\cos{\varphi}}$

Звідси вираз для a:

$a = l \cdot \tan{\alpha} = \frac{d}{2} \cdot \tan{\alpha}$

Тепер підставимо значення a у вираз для бічної поверхні:

$S_{\text{біч}} = \frac{2\pi R}{d \cdot \cos{\varphi}} \cdot \left(\left(\frac{d}{2} \cdot \tan{\alpha}\right)^2 - \frac{d}{2} \cdot \tan{\alpha} \cdot d \cdot \cos{\alpha}\right)$

Звідси бічна поверхня циліндра обчислюється. Зверніть увагу, що умовою не вказано висоту циліндра, тому це значення нам невідоме і врахувати його в обчисленнях неможливо. Задача може бути додатково ускладнена, якщо висота циліндра необхідна для розв'язання.