Question

Задача 16 ЕГЭ. Точка О - центр окружности вписанной в треугольник ABC. Точка М середина стороны АС. Угол АOС равен 135 градусам.(то, что тр.АВС прямоуг.-доказано) Прямые MO и BC пересекаются в точке K. Найдите отношение BK:CK, если AB=15, ВC=8.

Answer 1

                               Решение : ////////////////////////

Answer 2

Для решения этой задачи, нам потребуется использовать свойства вписанных углов и свойства медиан в треугольнике.

Обозначим:

1. Точка O - центр окружности, вписанной в треугольник ABC.
2. Точка M - середина стороны AC.
3. Точка K - точка пересечения прямых MO и BC.

Также известно:

1. Угол АОС = 135 градусов (дано).
2. Треугольник ABC - прямоугольный (доказано), значит, угол А равен 90 градусов.

Найдем отношение BK:CK:

1. Найдем длину стороны АС: Так как АВС - прямоугольный треугольник, применим теорему Пифагора: AB^2 + BC^2 = AC^2 15^2 + 8^2 = AC^2 225 + 64 = AC^2 289 = AC^2 AC = √289 AC = 17

2. Найдем длину стороны AM: Так как M - середина стороны AC, а сторона AC равна 17, то AM = AC / 2 = 17 / 2 = 8.5

3. Найдем длину стороны AO: В окружности, радиус (AO) является перпендикуляром к хорде (AC) из центра окружности. Половина стороны AC равна AM = 8.5 (предыдущий пункт). Так как угол АОС = 135 градусов, то угол АОМ = 90 градусов - 135 градусов = -45 градусов (отрицательный, так как лежит в четвертой четверти). Теперь применим тригонометрию к прямоугольному треугольнику АОМ: tan(-45°) = AO / AM AO = AM * tan(-45°) = 8.5 * (-1) = -8.5 (отрицательно, так как лежит в четвертой четверти)

4. Теперь найдем длину стороны MO: MO = AO + AM = -8.5 + 8.5 = 0

5. Поскольку MO = 0, это означает, что точки M и O совпадают. Значит, центр окружности O лежит на стороне АС и равен середине этой стороны.

6. Теперь найдем длину стороны CK: Так как К - точка пересечения прямых MO и BC, а MO = 0 (предыдущий пункт), то K совпадает с серединой стороны BC. Как известно, в треугольнике медиана, проходящая через середину стороны, делит эту сторону пополам. Значит, CK = BC / 2 = 8 / 2 = 4.

7. Теперь найдем длину стороны BK: Так как точка K - точка пересечения медиан треугольника, то BK = KC.

Итак, отношение BK:CK = 1:1.