Question

в квадрате ABCD точки M на стороне BC и N На стороне CD расположены так, что BM:MC=1:2, CN:ND=2:7. Докажите, что угол AMN прямой

Answer 1

BM : MC = 1 : 2 => BM:AB=1/3 MC:AB=2/3

CN : ND = 2 : 7 => CN:AB=2/9, MC:AB=2/3 => CN:MC=1/3

BM:AB=1/3, CN:MC=1/3 => CN:MC=BM:AB, т. к. уголы B и С прямые => по второму признаку подобия треугольников, треуг. ABM подобен треуг. MCN => <bam=<ncm> <bam+<bma=90> <nmc+<bma=90>

Answer 2

Для доказательства того, что угол AMN прямой, давайте рассмотрим треугольники AMN и CMD.

Из условия известно, что BM:MC=1:2 и CN:ND=2:7. Можем представить отрезки BM и CN в виде BM = x и CN = 2x (где x - некоторая положительная константа).

Теперь рассмотрим треугольник CMD:

1. Используя отношение CN:ND=2:7, можем найти длину ND: ND = CN * (7 / 2) = 2x * (7 / 2) = 7x / 2.

2. Так как длина CD равна сумме длин CN и ND, то: CD = CN + ND = 2x + 7x / 2 = (4x + 7x) / 2 = 11x / 2.

Теперь рассмотрим треугольник AMN:

3. Используя отношение BM:MC=1:2, можем найти длину MC: MC = 2 * BM = 2 * x = 2x.

Теперь у нас есть следующие длины сторон:

AN = ND = 7x / 2 (так как N находится на стороне CD и делит ее в отношении 7:2). AM = MC = 2x (так как M находится на стороне BC и делит ее в отношении 1:2).

Теперь перейдем к доказательству того, что угол AMN прямой, сравнив углы треугольников AMN и CMD.

Угол AMN: Допустим, угол AMN равен α.

Угол CMD: Угол CND можно обозначить как β. Тогда угол MCD (угол между сторонами MC и CD) будет равен 180° - β.

Так как сумма углов в треугольнике равна 180°, угол CMD (в треугольнике CMD) также будет равен 180° - β.

Теперь сравним углы AMN и CMD. Угол AMN равен α, а угол CMD равен 180° - β.

Для доказательства того, что угол AMN прямой, нам нужно показать, что α + (180° - β) = 180°, т.е. α = β.

Давайте продолжим наш анализ:

4. Угол ANC: Для этого угла, мы знаем, что CN:ND=2:7. Из соотношения сторон треугольников ANC и CMD, а также из равенства AN = ND, следует, что угол ANC равен углу CND (то есть β): α = β.

5. Угол MCB: Аналогично, из отношения BM:MC=1:2 и того факта, что BM = MC, угол MCB также равен β: α = β.

Теперь у нас есть следующее:

α = угол ANC = угол MCB = β.

Итак, мы доказали, что угол AMN (обозначенный α) равен углу CMD (обозначенному β). Это значит, что угол AMN прямой.