Question

В круг, радиус которого равен R, вписано правильный треугольник, а на его стороне построено квадрат. Найдите радиус окружности, описанной около квадрата.

Answer 1

r = a * V3\3 --------> a = rV3 - сторона треугольника и квадрата

D^2 = a^2 + a^2 = 2a^2 = 2 * (rV3)^2 = 2 * 3r^2 = 6R^2 ----> D = rV6

R = D\2 = rV6\2

-

Answer 2

Пусть сторона правильного треугольника, вписанного в круг, равна a. Тогда радиус окружности, вписанной в этот треугольник, равен R.

Так как треугольник правильный, его высота равна a * √3 / 2, а медиана равна a / 2. Также, медиана, высота и радиус описанной окружности пересекаются в одной точке (центре окружности).

Построим четыре равнобедренных треугольника с вершинами в центре круга, концах медиан и концах высот:

1. Конец медианы, вершина и точка на описанной окружности образуют равнобедренный треугольник с углами 90° - 45° - 45°. Такой треугольник будет иметь стороны a / 2, a / 2 и R (радиус описанной окружности).

2. Конец медианы, конец высоты и точка на описанной окружности также образуют равнобедренный треугольник. Он будет иметь стороны a / 2, a * √3 / 2 и R (радиус описанной окружности).

Теперь мы можем записать два уравнения:

1. (a / 2)^2 + (a / 2)^2 = R^2 (по теореме Пифагора для первого треугольника)
2. (a / 2)^2 + (a * √3 / 2)^2 = R^2 (по теореме Пифагора для второго треугольника)

Решим систему уравнений:

1. (a^2 / 4) + (a^2 / 4) = R^2 a^2 / 2 = R^2 a^2 = 2R^2

2. (a^2 / 4) + (3a^2 / 4) = R^2 a^2 = R^2

Из уравнений 1) и 2) получаем:

2R^2 = R^2

Разделим обе части на R^2:

2 = 1

Это противоречие возникает из-за предположения, что такая окружность существует. Фактически, невозможно вписать правильный треугольник и описать около него квадрат одновременно.