Question

На сторонах PA і PB кута APB позначено точки D і F, AP/PD=BP/PF=5/3, AB=10 см. Чому дорівнює DF ?

Answer 1

Маємо 2 подібних трикутника АРB та DPF(за спільним кутом Р та двома пропорційними сторонами). Тому третя сторона одного трикутника пропорційна відповідній стороні другого.

AB/DF=PA/PD

10/DF=5/3

DF=30/5=6 см

Answer 2

Для розв'язання цієї задачі, давайте спочатку розберемося з геометричними умовами. Ми маємо кут APB і точки D та F на сторонах PA і PB відповідно такі, що співвідношення довжин AP/PD і BP/PF дорівнюють 5/3.

Давайте позначимо довжини PD і PF як 5x і 3x відповідно, тоді AP = 5x + x = 6x та BP = 3x + x = 4x.

Ми також знаємо, що AB = 10 см. Застосуємо теорему косинусів до трикутника APB:

AB^2 = AP^2 + BP^2 - 2(AP)(BP) * cos(APB)

10^2 = (6x)^2 + (4x)^2 - 2(6x)(4x) * cos(APB)

100 = 36x^2 + 16x^2 - 48x^2 * cos(APB)

Тепер знайдемо cos(APB):

48x^2 * cos(APB) = 52x^2

cos(APB) = 52x^2 / 48x^2

cos(APB) = 13/12

Тепер знаємо значення cos(APB), щоб знайти DF. Знову розглянемо трикутник APB і використаємо теорему косинусів, але цього разу для кута DPF:

DF^2 = PD^2 + PF^2 - 2(PD)(PF) * cos(DPF)

DF^2 = (5x)^2 + (3x)^2 - 2(5x)(3x) * cos(DPF)

DF^2 = 25x^2 + 9x^2 - 30x^2 * cos(DPF)

Так як ми не знаємо cos(DPF), давайте спробуємо знайти його засобами синусів і косинусів:

cos(DPF) = cos(180° - APB) = -cos(APB)

cos(DPF) = -(-13/12) = 13/12

Тепер, підставляючи це значення назад в наш вираз для DF^2:

DF^2 = 25x^2 + 9x^2 - 30x^2 * (13/12)

DF^2 = 34x^2 - 39.5x^2

DF^2 = -5.5x^2

Так як DF - це додатнє значення, візьмемо позитивний корінь:

DF = √(5.5x^2)

DF = x√5.5

Тепер, щоб знайти значення x, скористаємося фактом, що AP + PD = 6x + 5x = 11x, і це дорівнює AB (10 см):

11x = 10

x = 10 / 11

x ≈ 0.9091

Тепер, підставляючи значення x у вираз для DF:

DF ≈ 0.9091 * √5.5 ≈ 1.94 см

Отже, довжина DF приблизно дорівнює 1.94 см.