Question

В прямоугольном треугольнике один из катетов на 2 см меньше другого. Периметр треугольника равен 14 см. Найдите гипотенузу, один из углов 30°. Решите как в 7 классе

Answer 1

Решение в прикреплённом ниже файле:

Answer 2

Давайте разберемся с этой задачей, используя знания из 7-го класса математики.

Пусть x - длина большего катета в см, тогда (x - 2) - длина меньшего катета в см.

Из условия задачи известно, что периметр треугольника равен 14 см:

Периметр треугольника = длина гипотенузы + длина большего катета + длина меньшего катета.

Мы знаем, что один из углов в прямоугольном треугольнике равен 30°. Значит, это угол между большим катетом и гипотенузой.

Используя свойство тригонометрических функций в прямоугольных треугольниках, знаем, что:

cos(30°) = Adjacent / Hypotenuse,

где Adjacent - это длина большего катета.

Также, по теореме Пифагора для прямоугольного треугольника:

Hypotenuse^2 = (Adjacent)^2 + (Opposite)^2.

Мы знаем, что cos(30°) = √3 / 2.

Теперь давайте применим это к нашей задаче:

√3 / 2 = (x - 2) / Hypotenuse.

Также, периметр треугольника равен:

14 = Hypotenuse + x + (x - 2).

Теперь мы имеем систему уравнений:

1. √3 / 2 = (x - 2) / Hypotenuse,
2. 14 = Hypotenuse + x + (x - 2).

Давайте решим эту систему уравнений. Сначала решим уравнение (1) относительно Hypotenuse:

Hypotenuse = (x - 2) / (√3 / 2).

Теперь подставим это значение Hypotenuse в уравнение (2):

14 = (x - 2) / (√3 / 2) + x + (x - 2).

Теперь давайте решим это уравнение и найдем значение x:

14 = (2√3(x - 2) + 2x - 2) / √3.

Теперь избавимся от знаменателя √3, умножив обе стороны уравнения на √3:

14√3 = 2√3(x - 2) + 2x - 2.

Раскроем скобки:

14√3 = 2√3x - 4√3 + 2x - 2.

Теперь сгруппируем переменные с x и оставим числа отдельно:

2√3x + 2x = 14√3 + 4√3 - 2.

Суммируем коэффициенты при x:

4√3x = 18√3 - 2.

Теперь выразим x:

x = (18√3 - 2) / (4√3).

Теперь, когда мы нашли значение x, можем найти значение Hypotenuse, подставив его в уравнение (1):

Hypotenuse = (x - 2) / (√3 / 2).

Hypotenuse = ((18√3 - 2) / (4√3) - 2) / (√3 / 2).

Теперь вычислим значение Hypotenuse:

Hypotenuse = ((18√3 - 2) / (4√3) - 2) * (2 / √3).

Hypotenuse = (9 - √3) см.

Таким образом, гипотенуза треугольника равна 9 - √3 см (приближенное значение: около 7,54 см).