Question

Геометрия 11класс. В правильной четырехугольной пирамиде боковое ребро наклонено к плоскости основания под углом 60°. Найдите угол наклона боковой грани пирамиды к основанию пирамиды

Answer 1

Вообще-то есть формулы перехода углов прав. пирамид, от угла наклона α бокого ребра к плоскости основания к углу β наклона боковой грани к плоскости основания,  они связаны таким соотношением tgβ=√2*tgα, я эти формулы выводил еще в школе, а сейчас, когда у меня не крепятся файлы, конечно, будет сложно, объяснить, но я попробую.

В основании лежит квадрат. Проекцией бокового ребра к плоскости основания будет половина  диагонали квадрата, если сторону обозначить а, то диагональ квадрата равна а√2, а ее половина а√2/2=а/√2, высота пирамиды пусть будет Н, тогда тангенс угла наклона бок. ребра   к плоскости основания равен 2Н/а√2=√2*Н/а, теперь разберемся с углом наклона боковой грани к плоскости основания, проведем из основания высоты пирамиды, т.е. из точки пересечения диагоналей квадрата к стороне квадрата перпендикуляр, равный а/2, это проекция апофемы на плоскость основания, которая тоже будет перпендикулярна стороне квадрата по теореме о трех перпендикулярах. тангенс угла наклона бок. грани к плоскости основания равен 2Н/а,

tgα=tg60°=√3,      tgβ =√2tg60°=√2*√3=√6, и тогда угол наклона, который мы ищем, равен arctg(√6)

Answer 2

Для решения этой задачи рассмотрим сечение правильной четырехугольной пирамиды плоскостью, проходящей через вершину пирамиды и перпендикулярно к основанию. При таком сечении получим равносторонний треугольник, так как все боковые грани пирамиды равносторонние.

Пусть сторона основания этого равностороннего треугольника равна "а" (это же будет стороной основания правильной четырехугольной пирамиды), а высота равна "h" (это же будет высотой боковой грани пирамиды).

Теперь у нас есть прямоугольный треугольник с углом 60° между горизонтальной стороной (основанием) и наклоненной стороной (боковым ребром). Из этого треугольника мы можем найти угол наклона боковой грани пирамиды к основанию.

Пусть "α" - это искомый угол. Тогда тангенс этого угла равен отношению противолежащего катета к прилежащему:

tg(α) = h / (a / 2)

Мы знаем, что в равностороннем треугольнике высота "h" равна (a * √3) / 2, а сторона "a" равна стороне основания пирамиды.

Подставим значения:

tg(α) = ((a * √3) / 2) / (a / 2)

Теперь упростим выражение:

tg(α) = (√3 * a) / a

tg(α) = √3

Теперь найдем сам угол "α" (угол наклона боковой грани пирамиды к основанию):

α = arctg(√3)

Окончательный ответ:

Угол наклона боковой грани пирамиды к основанию равен примерно 60°.