Question

Треугольник со сторонами 4 см, 3 см и 5 см вращается вокруг меньшей стороны. Вычислите площадь полной поверхности получившейся фигуры

Answer 1

Треугольник со стронами 3,4,5-прямоугольный,т.к. для него выполняется теорема Пифагора.

Треугольник вращается вокруг меньшего катета длиной 3.

Самая удаленная точка от этого катета это конец другого катета длиной 4. Получается эта точка будет границей фигуры.

Если вертеть треугольник не прерывно,то полученая фигура будет окружность. Ее радиус будет равен как раз катету длиной 4,т.к. его конец лежит на окружности.

Площадь окружности : S=πR^2=3,14×4^2=50,24.

Answer 2

Чтобы вычислить площадь полной поверхности получившейся фигуры, когда треугольник вращается вокруг меньшей стороны (в данном случае вокруг стороны длиной 3 см), мы можем использовать метод поверхностного интеграла.

Для нахождения площади полной поверхности образовавшейся фигуры, нам необходимо рассмотреть поверхностный интеграл от расстояния, которое проходит каждая точка треугольника в процессе вращения. Так как у нас треугольник, мы можем рассматривать прямоугольники, образующие эту фигуру, как приближение.

Площадь поверхности вращения можно вычислить по следующей формуле:

$S = 2 \pi \int_{a}^{b} y \sqrt{1 + \left(\frac{{dy}}{{dx}}\right)^2} dx$

где $y$ - расстояние от точки треугольника до оси вращения (в данном случае длина отрезка, проведенного перпендикулярно к стороне длиной 3 см), $a$ и $b$ - пределы интегрирования.

Сначала найдем $y$ в зависимости от $x$. Для этого мы можем использовать подобие треугольников:

$\frac{y}{4} = \frac{3}{5}$ $y = \frac{12}{5}$

Теперь возьмем производную $y$ по $x$ (в данном случае $x$ будет равно расстоянию от $a$ до $b$, т.е. 5 см):

$\frac{dy}{dx} = 0$

Таким образом, подынтегральное выражение в формуле становится:

$\sqrt{1 + \left(\frac{{dy}}{{dx}}\right)^2} = \sqrt{1 + 0} = 1$

Итак, площадь поверхности вращения:

$S = 2 \pi \int_{0}^{5} \frac{12}{5} \cdot 1 \, dx = \frac{24\pi}{5} \approx 15.24 \, \text{см}^2$

Таким образом, площадь полной поверхности получившейся фигуры около 15.24 квадратных сантиметров.