Question

ДАЮ 80 БАЛЛОВ! В квадрате ABCD на стороне AD отмечена точка Е, а на отрезке ЕВ отмечены точки K и N так, что CK перпендикулярна EB, AN перпендикулярна EB. Докажите, что DK = CN.

Answer 1

..........................................................

Answer 2

Для доказательства DK = CN, давайте рассмотрим треугольники DKC и ANC.

Из условия, у нас есть квадрат ABCD, и точки E, K и N находятся на стороне AD и отрезке EB соответственно. Также дано, что CK и AN перпендикулярны EB.

1. Докажем, что треугольники DKC и ANC подобны. Для этого заметим, что DKC и ANC имеют два равных угла:

• Угол DCK равен углу NCB (по условию перпендикулярности).
• Угол KDC равен углу ANC (по прямому углу, так как KC и AN являются высотами к сторонам EB).

2. Далее, чтобы доказать подобие, нужно установить, что у них есть общий угол. Этот угол - прямой угол KDC, который также является прямым углом в треугольнике ANC (в связи с перпендикулярностью AN и EB).

Таким образом, треугольники DKC и ANC подобны по признаку двух углов, и у них две равные пары углов. Отсюда можно сделать вывод, что соответствующие стороны также пропорциональны.

3. Рассмотрим пропорциональные стороны:

   • DK/NC = CK/AC (из подобия треугольников)
   • DK/NC = CK/AB (так как AC - диагональ квадрата, а CK - высота к стороне EB)
   • DK/NC = EB/AB (так как CK и EB перпендикулярны)

4. Теперь заметим, что в треугольнике EBN также выполняется подобие:

   • EB/AB = BN/AN (так как AN - высота к стороне EB)

5. Из пунктов 3 и 4 мы получаем:

   • DK/NC = BN/AN

6. Но так как у треугольников DKC и ANC две равные пары углов, это также означает, что их стороны пропорциональны. То есть:

   • DK/NC = CK/AN

7. Из условия перпендикулярности CK и AN к EB, получаем:

   • CK/AN = 1 (так как это соотношение сторон прямоугольного треугольника к его гипотенузе)

Таким образом, DK/NC = 1, что означает, что DK = NC.

Таким образом, мы доказали, что DK = CN.