Question

Окружность с центром O, вписанная в прямоугольный треугольник ABC, касается катетов AC и BC в точках L и K соответственно. Известно, что AL=12 и CL=4. а) Докажите, что прямая OK проходит через точку F пересечения медиан треугольника ABC. б) Найдите площадь треугольника FBO.

Answer 1

...............................................

Answer 2

Для решения задачи, давайте рассмотрим ситуацию и применим несколько свойств треугольников и окружностей.

а) Докажем, что прямая OK проходит через точку F - пересечения медиан треугольника ABC.

По условию, окружность с центром O касается катетов AC и BC треугольника ABC в точках L и K соответственно. Это означает, что отрезки AL и CK являются касательными к окружности, и следовательно, их длины равны радиусу окружности. Обозначим радиус окружности как r.

Так как AL = 12 и CL = 4, то получаем, что r = AL = 12.

Пусть точка F - пересечение медиан треугольника ABC (то есть точка пересечения медиан, проведенных из вершин треугольника). Обозначим точку пересечения медианы из вершины A с BC как M.

Так как F - точка пересечения медиан, то AM делит медиану BF пополам, и соотношение BM:MF = 1:1.

Теперь рассмотрим прямоугольные треугольники AML и BKF.

В треугольнике AML у нас есть:

AM:ML = 2:1 (свойство медианы)

AM:AL = 1:1 (свойство медианы)

AL = 12

Теперь рассмотрим прямоугольные треугольники BKF и BKC.

В треугольнике BKF у нас есть:

BF:FK = 2:1 (свойство медианы)

BF:BK = 2:1 (свойство медианы)

Теперь объединим эти два уравнения:

BF:FK = BF:BK

FK = BK

Теперь у нас есть, что FK = BK и BM:MF = 1:1. Таким образом, треугольники BKF и BKC подобны по стороне, и угол KBF равен углу CBK.

Теперь рассмотрим треугольники BOK и BKC.

В треугольнике BOK у нас есть:

BK = OK (так как точка K - точка касания окружности с катетом BC)

Таким образом, у нас есть равные стороны BK и OK в треугольниках BOK и BKC, и углы KBF и CBK в этих треугольниках тоже равны. Это означает, что треугольники BOK и BKC подобны по стороне и углу.

Из свойств подобных треугольников мы знаем, что угол BKO равен углу BKC.

Теперь рассмотрим треугольники BKF и BOK.

У нас уже есть, что угол KBF равен углу BKO.

Так как углы KBF и BKO равны, и углы BKF и BOK равны, а углы BKF и BKO - смежные углы, то треугольники BKF и BOK подобны.

Из свойств подобных треугольников, мы знаем, что угол FKB равен углу BOK.

Теперь рассмотрим треугольники AMF и OKB.

В треугольнике AMF у нас есть:

AM:MF = 1:1 (свойство медианы)

AM:AL = 1:2 (свойство медианы)

AL = 12

Таким образом, у нас есть, что AM = 6 и MF = 6.

Теперь рассмотрим треугольники OMB и OKB.

В треугольнике OMB у нас есть:

MB:MF = 2:1 (свойство медианы)

MB:BM = 1:2 (свойство медианы)

MF = 6

Таким образом, у нас есть, что MB = 12 и BM = 24.

Таким образом, треугольники AMF и OKB имеют равные стороны, и углы FAM и BKO в этих треугольниках тоже равны. Это означает, что треугольники AMF и OKB подобны по стороне и углу.

Из свойств подобных треугольников, мы знаем, что угол AFM равен углу OKB.

Таким образом, углы FKB и AFM равны, и углы AFM и FKB - смежные углы, значит, треугольники FKB и AFM подобны.

Из свойств подобных треугольников, мы знаем, что угол BKF равен углу FAM.

Таким образом, углы BKF и FAM равны, а углы FAM и FKB - смежные углы, что значит, треугольники BKF и FAM подобны.

Из свойств подобных треугольников, мы знаем, что стороны треугольников FAM и FKB пропорциональны.

Так как у нас уже было, что BK = OK, то из подобия треугольников FAM и FKB следует, что FK = FO, где точка O - центр окружности.

Таким образом, прямая OK проходит