Question

Решите неравенство (3x-8)^2 больше или равно (8x -3)^2

Answer 1

(3x-8)² ≥ (8x-3)²

(8x-3)²-(3x-8)² ≤ 0

• Воспользуемся формулой разности квадратов: a²-b² = (a-b)(a+b).

( 8x-3 - (3x-8) ) × ( 8x-3 + 3x-8 ) ≤ 0

(8x-3x-3+8)(8x+3x-3-8) ≤ 0

(5x+5)(11x-11) ≤ 0

5(x+1)·11(x-1) ≤ 0 |:55>0

(x+1)(x-1) ≤ 0

• Решим методом интервалов (см. прилож.)

-1 ≤ x ≤ 1

Ответ: x∈[-1;1].

Answer 2

Для решения данного неравенства, сначала раскроем квадраты и приведем подобные слагаемые:

(3x - 8)^2 ≥ (8x - 3)^2

(3x - 8)(3x - 8) ≥ (8x - 3)(8x - 3)

Раскроем скобки:

9x^2 - 24x + 64 ≥ 64x^2 - 48x + 9

Теперь перенесем все слагаемые в одну часть неравенства:

9x^2 - 24x + 64 - 64x^2 + 48x - 9 ≥ 0

Приравняем неравенство нулю и найдем корни квадратного уравнения:

-55x^2 + 24x + 55 = 0

Для решения квадратного уравнения можно использовать дискриминант (D):

D = b^2 - 4ac

где a = -55, b = 24, c = 55

D = 24^2 - 4(-55)(55) = 576 + 11000 = 11576

Так как D > 0, у уравнения два действительных корня.

x = (-b ± √D) / 2a

x = (24 ± √11576) / (2 * (-55))

x = (24 ± 107.6) / (-110)

Таким образом, получаем два корня:

x₁ ≈ 1.0882

x₂ ≈ -1.0099

Теперь осталось проверить интервалы между найденными корнями и выяснить, когда исходное неравенство выполняется:

1. Когда x < -1.0099:

Подставим x = -2 (любое число меньше -1.0099) в исходное неравенство:

(3(-2) - 8)^2 ≥ (8(-2) - 3)^2

(-6 - 8)^2 ≥ (-16 - 3)^2

(-14)^2 ≥ (-19)^2

196 ≥ 361

Условие не выполняется.

2. Когда -1.0099 < x < 1.0882:

Подставим x = 0 (любое число между -1.0099 и 1.0882) в исходное неравенство:

(3(0) - 8)^2 ≥ (8(0) - 3)^2

(-8)^2 ≥ (-3)^2

64 ≥ 9

Условие выполняется.

3. Когда x > 1.0882:

Подставим x = 2 (любое число больше 1.0882) в исходное неравенство:

(3(2) - 8)^2 ≥ (8(2) - 3)^2

(-2)^2 ≥ (13)^2

4 ≥ 169

Условие не выполняется.

Таким образом, решением неравенства является интервал: -1.0099 < x < 1.0882.