Question

В треугольнике АBC на сторонах АВ и АС выбраны точки М и N так, что ВМ:МА=СN:NA=1:2. Оказалось , что отрезок МN содержит центр окружности , вписанной в треугольник АВС. Найдите ВС , если АВ=6 АС=3.

Answer 1

Ответ:

4,5

Объяснение:

Answer 2

Будем пользоваться теоремой о биссектрисе.

Она заключается в следующем: отношение сторон треугольника, содержащихся в угле, из которого проведена биссектриса, равна отношению отрезков, на которые делит биссектриса противолежащую сторону.

Назовем точку пересечения MN и биссектрисы AK через R; Тогда из данного в условии легко вывести, что биссектриса угла C проходит через R. Пусть RC ∩ AB = F; Пусть AM=2x, MB=x. Тогда x=2; По теореме Менелая для треугольника AMN: $\frac{AF}{FM}\frac{MR}{RN}\frac{NC}{AC}=1 \Rightarrow \frac{AF}{FM} =\frac{1}{2\times\frac{1}{3} } =\frac{3}{2}$, ну а отсюда легко получить AF=2,4 и FM=1,6; Значит BF=3,6 и AF=2,4; По вышеизложенной теореме о биссектрисе имеем: $\frac{BC}{AC}= \frac{BF}{AF}\Leftrightarrow BC=\frac{AC\times BF}{AF}=\frac{3\times 3,6}{2,4}=4,5$

Answer 3

Для решения этой задачи нам потребуется использовать свойства вписанных окружностей и отношения длин сторон треугольника.

Обозначим точку касания вписанной окружности с стороной AB как P, с BC как Q и с AC как R. Пусть радиус вписанной окружности равен r.

Согласно условию задачи, отрезок MN содержит центр окружности, вписанной в треугольник ABC. Это означает, что точки М, N и центр вписанной окружности (обозначим его как I) лежат на одной прямой. Поскольку MN делит сторону AB в отношении 1:2, то разделит он также отрезок PI в том же отношении.

Теперь давайте рассмотрим треугольник AIM, где I - центр вписанной окружности, А - вершина треугольника, а M - точка на стороне AB, делящая её в отношении 1:2. Такой треугольник AIM является подобным треугольнику ABC, так как углы внутри подобных треугольников равны.

Таким образом, имеем:

AB : AI = AM : AM + MI 6 : r = 3 : 3 + r 6r + 3r = 3 * 6 9r = 18 r = 2

Теперь, когда мы нашли радиус вписанной окружности, можем найти длину стороны ВС (BC) с помощью теоремы о касательной:

BI * IC = AB * IC r * r = 6 * 3 2 * 2 = 6 * 3 4 = 18 BC = 18 / 4 BC = 9

Таким образом, длина стороны ВС (BC) равна 9.