Question

В правильной четырёхугольной призме, стороны основания равны 1, а боковые рёбра равны 3. Через середины рёбер AD и B1C1 и вершину A1 проведено сечение. А) Постройте сечение и найдите его площадь Б) Найдите угол между плоскость сечения и плоскостью (ABC)

Answer 1

А) Так как сечение проходит через параллельные плоскости , то в сечении  - параллелограмм.

Находим его стороны. А1Е = √(1 + (1/2)²) = √5/2.

А1М = √(3² + (1/2)²) = √37/2.

Найдём диагональ МЕ: МЕ =√(1² +3²) = √10.

Площадь параллелограмма найдём как площадь двух треугольников со сторонами, равными сторонам параллелограмма и его диагонали.

Площадь треугольника определяем по формуле Герона.

Треугольник А1ЕМ    

a(ЕМ) b(А1М) c(А1Е)    p           2p             S

3,1623 3,0414 1,11803 3,6609 7,3217 1,6956

  10             9,25        1,25 это квадраты сторон  

cos A = 0,0735 cos B = 0,2828 cos С = 0,9358

Аrad = 1,4972 Brad = 1,2840 Сrad = 0,3603

Аgr = 85,7837 Bgr = 73,5700 Сgr = 20,6462 .

Площадь сечения равна 2*1,6956 = 3,3912 кв.ед.

Б) Перпендикуляр из точки F на МС равен (1*(1/2)/(√5/2) = 1/√5.

Тангенс угла α наклона плоскости сечения равен:

tg α = 3/(1/√5) = 3√5.

α = arc tg(3√5) = 1,4228 радиан или 81,5213 градуса.

Answer 2

Для решения этой задачи, давайте выполним указанные шаги:

A) Построение сечения и нахождение его площади:

1. Построение сечения: Для начала, построим правильную четырёхугольную призму с указанными размерами:

javascriptCopy code
       B _______ C1
        /      /  
       /      /   
      /______/    
  A1  \      \ A
        \      \
       A1'_____C
            B1

Где: ABCD - основание призмы A1B1C1D1 - верхнее основание призмы A1, B1, C1, D1 - середины сторон основания ABCD A1' - точка на продолжении AD AA1' - плоскость сечения

2. Нахождение площади сечения (площади четырёхугольника A1A1'B1B): Сечение образует четырёхугольник A1A1'B1B. Чтобы найти его площадь, нужно разбить его на два треугольника: A1A1'B и A1'B1B, а затем сложить их площади.

Сначала найдём высоту обоих треугольников: Высота треугольника A1A1'B равна половине длины бокового ребра призмы, то есть h₁ = 3/2 = 1.5. Высота треугольника A1'B1B равна половине длины основания призмы, то есть h₂ = 1/2 = 0.5.

Теперь найдём площадь каждого треугольника:

Площадь треугольника A1A1'B: S₁ = (1/2) * A1A1' * h₁ = (1/2) * 1 * 1.5 = 0.75.

Площадь треугольника A1'B1B: S₂ = (1/2) * A1'B1 * h₂ = (1/2) * 2 * 0.5 = 0.5.

Теперь сложим площади двух треугольников, чтобы получить площадь четырёхугольника A1A1'B1B: S_сечения = S₁ + S₂ = 0.75 + 0.5 = 1.25.

Ответ: Площадь сечения равна 1.25 квадратных единиц.

B) Нахождение угла между плоскостью сечения и плоскостью (ABC):

Угол между двумя плоскостями определяется как угол между их нормалями. Нормаль к плоскости (ABC) сонаправлена с её нормалью, которая перпендикулярна плоскости основания ABCD (прямоугольного треугольника ABC).

Так как в треугольнике ABC угол между сторонами AB и AC равен 90 градусов (прямой угол), то плоскость ABC перпендикулярна к плоскости основания ABCD.

Следовательно, угол между плоскостью сечения и плоскостью (ABC) также будет 90 градусов.

Ответ: Угол между плоскостью сечения и плоскостью (ABC) равен 90 градусов.