Question

В остроугольном треугольнике ABC биссектриса AA1, медиана CC1 и высота BB1 пересеклись в одной точке. Сторона AB равна 24 а AC=16. Найдите косинус угла BAC.

Answer 1

Ответ:

0,4

Объяснение:

Answer 2

Для решения данной задачи, воспользуемся известным свойством остроугольных треугольников: в остроугольном треугольнике биссектриса, медиана и высота, проведенные из одной вершины, пересекаются в одной точке - центре вписанной окружности.

Пусть точка пересечения биссектрисы AA1, медианы CC1 и высоты BB1 называется O.

Так как треугольник ABC является остроугольным, то его центр вписанной окружности O лежит внутри треугольника.

Для нахождения косинуса угла BAC, нам понадобится знание длин сторон треугольника.

Обозначим длины отрезков следующим образом:

AB = c = 24, AC = b = 16.

Теперь воспользуемся формулой площади треугольника через стороны:

Пусть S - площадь треугольника ABC. Тогда S = (1/2) * b * c * sin(A), где A - угол BAC.

Также известно, что площадь треугольника можно вычислить через длины медианы CC1:

S = (3/4) * m, где m - длина медианы CC1.

Теперь можем выразить синус угла A через длины сторон треугольника и длину медианы:

sin(A) = (2 * S) / (b * c) = (2 * (3/4) * m) / (b * c) = (3 * m) / (2 * b * c).

Для дальнейших вычислений нам нужно найти длину медианы CC1. В остроугольном треугольнике медиана из вершины C делит противолежащую сторону AB пополам. Таким образом, длина медианы CC1 равна половине длины стороны AB:

m = c / 2 = 24 / 2 = 12.

Теперь можем найти синус угла A:

sin(A) = (3 * m) / (2 * b * c) = (3 * 12) / (2 * 16 * 24) = 36 / 768 = 1 / 21.

Теперь, используя определение косинуса угла (cos(A) = sqrt(1 - sin^2(A))), найдем косинус угла BAC:

cos(A) = sqrt(1 - sin^2(A)) = sqrt(1 - (1/21)^2) = sqrt(1 - 1/441) = sqrt(440/441).

Окончательно, косинус угла BAC равен sqrt(440/441).