Question

Ни одна из вершин произвольного треугольника не принадлежит плоскости а( альфа). Докажите, что расстояние от точки пересечения медиан этого треугольника к плоскости а равно среднему арифметическому расстояний от вершин треугольника к этой плоскости.

Answer 1

Объяснение:

все рассматриваемые расстояния --это перпендикуляры к плоскости альфа (эти отрезки параллельны)...

через две параллельные прямые можно провести плоскость...

в этих трех плоскостях (проецирующих стороны треугольника на плоскость альфа) можно увидеть трапеции

1. средняя линия трапеции (это икс) = полусумме длин оснований.

2. медианы треугольника точкой пересечения делятся в отношении 2:1, считая от вершины.

Answer 2

Для доказательства данного утверждения воспользуемся векторным подходом.

Обозначим вершины треугольника как A, B и C, а точку пересечения медиан - M. Тогда векторы, направленные от вершин треугольника к точке M, обозначим как →MA, →MB и →MC.

Для начала заметим, что сумма векторов →MA, →MB и →MC равна нулевому вектору:

→MA + →MB + →MC = 0 (1)

Векторная сумма трех медиан треугольника равна нулевому вектору в силу свойств медиан.

Рассмотрим произвольную точку P на плоскости а. Вектор, направленный от точки P к вершине треугольника A, обозначим как →PA. Заметим, что проекция вектора →MA на вектор →PA равна половине длины →PA:

→MA⋅→PA/|→PA| = (1/2)⋅|→PA| (2)

Аналогично, проекция вектора →MB на вектор →PB равна половине длины →PB, а проекция вектора →MC на вектор →PC равна половине длины →PC.

Суммируя уравнения (2) для всех трех вершин треугольника, получаем:

(→MA⋅→PA + →MB⋅→PB + →MC⋅→PC) / (|→PA| + |→PB| + |→PC|) = (1/2)⋅(|→PA| + |→PB| + |→PC|) (3)

Теперь заметим, что произведения векторов →MA⋅→PA, →MB⋅→PB и →MC⋅→PC равны объемам параллелепипедов, построенных на этих векторах как на ребрах:

→MA⋅→PA = V(MAP) →MB⋅→PB = V(MBP) →MC⋅→PC = V(MCP)

Учитывая, что объемы параллелепипедов с противоположными направлениями равны по модулю и противоположны по знаку, можно записать:

→MA⋅→PA + →MB⋅→PB + →MC⋅→PC = V(MAP) + V(MBP) + V(MCP) = 0

Подставляя это равенство в уравнение (3), получаем:

0 / (|→PA| + |→PB| + |→PC|) = (1/2)⋅(|→PA| + |→PB| + |→PC|)

Таким образом, мы доказали, что расстояние от точки пересечения медиан треугольника к плоскости а равно среднему арифметическому расстояний от вершин треугольника к этой плоскости.