Question

В прямоугольнике периметр равен 2p, а диагональ составляет со стороной угол х. Найдите площадь этого прямоугольника.

Answer 1

Пусть сторона CD = a, тогда ${\rm tg}\, x=\dfrac{CD}{AD}~~\Rightarrow~~ AD=a{\rm ctg}\, x$. По теореме Пифагора из прямоугольного треугольника ACD

$AC^2=\sqrt{a^2+a^2{\rm ctg}^2\, x}=a\sqrt{1+{\rm ctg}^2\, x}=\dfrac{a}{\sin x}$

$P=2(AD+CD)=2\sqrt{(AD+CD)^2}=2\sqrt{AD^2+CD^2+2AD\cdot CD}=\\ \\ =2\sqrt{AC^2+2S}\\ \\ 2p=2\sqrt{AC^2+2S}\\\\ p=\sqrt{AC^2+2S}\\ \\ S=\dfrac{p^2-AC^2}{2}=\dfrac{p^2-\dfrac{a^2}{\sin^2x}}{2}=\dfrac{(p\sin x-a)(p\sin x+a)}{2\sin^2x}$

Answer 2

Пусть длина прямоугольника равна a, а ширина равна b. Тогда периметр равен:

2p = 2(a + b) = 2a + 2b

Диагональ дает нам уравнение синуса:

sin(x) = a / √(a² + b²)

Мы можем выразить a через b, используя это уравнение:

a = b * sin(x) / √(1 - sin²(x))

Подставим это выражение для a в уравнение периметра:

2p = 2(b * sin(x) / √(1 - sin²(x))) + 2b

Разделим обе части на 2b:

p = (b * sin(x) / √(1 - sin²(x))) + b

Выразим b через p:

b = p / (1 + sin(x) / √(1 - sin²(x)))

Теперь мы можем выразить a через p:

a = b * sin(x) / √(1 - sin²(x))

Подставим значения a и b в формулу площади прямоугольника:

Площадь = a * b = (b * sin(x) / √(1 - sin²(x))) * b

Подставим значение b:

Площадь = (p / (1 + sin(x) / √(1 - sin²(x)))) * (p / (1 + sin(x) / √(1 - sin²(x))))

Упростим эту формулу:

Площадь = p² / (1 + sin(x) / √(1 - sin²(x)))²

Таким образом, площадь прямоугольника равна p² / (1 + sin(x) / √(1 - sin²(x)))².