Question

Найти уравнение биссектрисы АЕ, в треугольнике АВС с вершинами А (3;-1) B (2;2) C (4;1)

Answer 1

Даны вершины А(3; -1), B(2; 2), C(4; 1).

Вектор АВ: (-1; 3), вектор АС: (1; 2).

Уравнение прямой АВ: (х - 3)/(-1) = (у + 1)/3,

Общее уравнение АВ: 3х + у - 8 = 0.

Уравнение прямой АС: (х - 3)/(1) = (у + 1)2,

Общее уравнение АС: 2х - у - 7 = 0.

Точки на биссектрисе угла А равно удалены от сторон АВ и АС.

Используем формулу расстояния точки от прямой и приравняем расстояние до АВ и АС.

d=|Ax0+By0+C|/√(A²+B²).

Пусть точка на биссектрисе имеет координаты (х; у).

Находим значения √(A²+B²) для прямых АВ и АС.

Для АВ: √(3²+ 1²) = √10, для АС: √(2²+ (-1)²) = √5.

Получаем: $\frac{|3x+y-8|}{\sqrt{10} } =\frac{|2x-y-7|}{\sqrt{5} }.$

Раскроем модули. Для внутреннего угла А подходит уравнение с минусом:  $\frac{3x+y-8}{\sqrt{10} } =-\frac{2x-y-7}{\sqrt{5} }.$

Домножим числитель и знаменатель правой дроби на корень из 2 и приравняем числители.

$3x+y-8=-\sqrt{2} (2x-y-7).$

Отсюда получаем ответ.

Уравнение биссектрисы угла А имеет вид:

х(3 + 2√2) + у(1 - √2) - (8 + 7√2) = 0.

Можно дать в цифровом виде: общее уравнение

Х - 0,071067812 У - 3,071067812 = 0  или с угловым коэффициентом: у = 14,07106781 х - 43,21320344 .

Answer 2

Чтобы найти уравнение биссектрисы AE треугольника ABC, нужно выполнить следующие шаги:

1. Найдите координаты точки E, которая является точкой пересечения биссектрисы AE и стороны BC.

2. Найдите угол между сторонами AB и AC, чтобы определить угол, через который проходит биссектриса AE.

3. Найдите уравнение прямой, проходящей через точку A и точку E, используя найденный угол и точку пересечения.

Шаг 1: Найдем координаты точки E.

Сначала найдем координаты середины стороны BC (между точками B и C): x_E = (x_B + x_C) / 2 y_E = (y_B + y_C) / 2

x_E = (2 + 4) / 2 = 6 / 2 = 3 y_E = (2 + 1) / 2 = 3 / 2 = 1.5

Точка E имеет координаты (3, 1.5).

Шаг 2: Найдем угол между сторонами AB и AC.

Для этого вычислим угловые коэффициенты прямых AB и AC, а затем используем их для нахождения угла между сторонами.

Угловой коэффициент прямой AB (k_AB) вычисляется как разность y-координат точек B и A, деленная на разность x-координат: k_AB = (y_B - y_A) / (x_B - x_A)

k_AB = (2 - (-1)) / (2 - 3) = 3 / -1 = -3

Угловой коэффициент прямой AC (k_AC) вычисляется как разность y-координат точек C и A, деленная на разность x-координат: k_AC = (y_C - y_A) / (x_C - x_A)

k_AC = (1 - (-1)) / (4 - 3) = 2 / 1 = 2

Теперь можно найти угол между сторонами AB и AC, используя следующее соотношение:

tan(θ) = |(k_AC - k_AB) / (1 + k_AC * k_AB)|

θ - угол между сторонами AB и AC.

tan(θ) = |(2 - (-3)) / (1 + 2 * (-3))| = |5 / (-5)| = 1

Таким образом, угол θ равен 45°.

Шаг 3: Найдем уравнение прямой AE.

Уравнение прямой, проходящей через точки A(x_A, y_A) и E(x_E, y_E), имеет следующий вид:

(y - y_A) = k * (x - x_A)

где k - угловой коэффициент прямой AE.

Мы уже знаем координаты точек A и E: A(3, -1) E(3, 1.5)

Также мы вычислили угловой коэффициент прямой AE (k = tan(θ) = 1).

Подставим известные значения и найдем уравнение:

(y - (-1)) = 1 * (x - 3)

Упростим:

y + 1 = x - 3

Теперь выразим y:

y = x - 3 - 1 y = x - 4

Таким образом, уравнение биссектрисы AE треугольника ABC имеет вид y = x - 4.