Question

В параллелограммеABCD на стороне BC взята точка P так что BP:PC =3:1 O точка пересечения диагоналей Выразите векторы AO и PA через векторы x=AB y=AD

Answer 1

Ответ:

Так как ВР:РС=3:1 , то на ВР приходится 3 части, а на РС - одна часть. Значит, ВС разделено на 4 части, а  РС - это 1/4 часть от ВС. Вектор РС=1/4*ВС   ⇒   вектор СР= -1/4*ВС= -1/4*AD= -1/4*y .

По правилу параллелограмма сложения векторов: АС=АВ+АD, тогда АО=1/2*АС=1/2*(х+у)

По правилу вычитания векторов: РА=АС-СР=(х+у)-(-1/4*y)=x+3/4*y

Answer 2

Для решения этой задачи мы воспользуемся свойствами параллелограмма и использованием соотношения между векторами BP и PC.

Из свойств параллелограмма, мы знаем, что диагонали делятся пополам. Таким образом, точка O - это середина диагонали AC.

Для начала, найдем вектор AC: AC = AD - DC = AD - BC

Теперь, так как O - середина диагонали AC, вектор AO будет равен половине вектора AC: AO = 1/2 * AC = 1/2 * (AD - BC)

Также, мы знаем, что BP:PC = 3:1. Это означает, что вектор BP является третьей частью вектора PC: BP = 1/4 * PC

Теперь рассмотрим вектор PA. Мы можем выразить его с использованием векторов BP и BA: PA = BA - BP = BA - 1/4 * PC

Но мы хотим выразить векторы AO и PA через векторы AB и AD. Для этого нам понадобится выразить вектор BC через AB и AD.

Используя свойства параллелограмма, мы знаем, что AB || DC и AD || BC. Это означает, что векторы AB и DC параллельны и могут быть пропорциональными.

Так как точка P делит сторону BC в отношении 3:1, мы можем выразить вектор BC через векторы AB и AD следующим образом: BC = AB + 1/3 * AD

Теперь мы можем подставить это значение в выражение для вектора AO: AO = 1/2 * (AD - BC) = 1/2 * (AD - AB - 1/3 * AD) = 1/2 * (2/3 * AD - AB)

Аналогичным образом, мы можем подставить значение для вектора BC в выражение для вектора PA: PA = BA - 1/4 * PC = BA - 1/4 * (BC - BP) = BA - 1/4 * (AB + 1/3 * AD - 1/4 * PC)

Таким образом, мы выразили векторы AO и PA через векторы AB и AD. Итоговые выражения: AO = 1/2 * (2/3 * AD - AB) PA = BA - 1/4 * (AB + 1/3 * AD - 1/4 * PC)

Пожалуйста, обратите внимание, что в этих выражениях я использовал обозначение BA вместо AB, чтобы явно указать направление вектора.