Question

В параллелограмме АBCD на стороне ВС взята точка Р так,что ВР:РС=3:1, О-точка пересечения диагоналей.выразите векторы АО и РА через векторы х=АВ и у=АD

Answer 1

Так как точка О делит диагонали параллелограмма пополам, то
$AO=\frac{AC}{2}=\frac{AB+AD}{2}$ (везде векторная форма!)

$PA=-(BP+AB)=-(0,75AD+AB)=-0,75AD-AB$

Answer 2

Для решения этой задачи воспользуемся свойствами параллелограмма и векторными соотношениями.

По свойствам параллелограмма, диагонали делят друг друга пополам. То есть, вектор АО будет равен полусумме векторов АВ и АD:

AO = 1/2 * (AB + AD) = 1/2 * (х + у)

Теперь найдем вектор РА. Обратите внимание, что точка Р находится на стороне ВС, и отношение ВР:РС равно 3:1. Это означает, что вектор ВР можно представить как 3/4 от вектора ВС, а вектор РС как 1/4 от вектора ВС:

ВР = 3/4 * ВС РС = 1/4 * ВС

Так как диагонали параллелограмма делятся пополам, вектор РА будет равен разности векторов ВР и АО:

РА = ВР - АО = 3/4 * ВС - 1/2 * (х + у)

Итак, выражения векторов АО и РА через векторы х и у:

AO = 1/2 * (х + у)

РА = 3/4 * ВС - 1/2 * (х + у)