Question

Даны точки: A(1;0;1), B(−1;1;2), C(0;2;−1). Найдите на оси z такую точку D(0;0;c), чтобы векторы AB→ и CD→ были перпендикулярны.

Answer 1

Даны точки: A(1;0;1), B(−1;1;2), C(0;2;−1) и D(0;0;c).

Чтобы векторы AB→ и CD→ были перпендикулярны, из скалярное произведение должно быть равно нулю.

AB→ = (-1-1=-2; 1-0=1; 2-1=1) = (-2; 1; 1).

CD→ = (0-0=0; 0-2=-2; (с+1)) = (0; -2; (с+1)).

(AB→ х CD→) = 0 - 2 + с + 1 = 0,     с = 2 - 1 = 1.

Ответ: D(0; 0; 1).

Answer 2

Чтобы векторы AB→ и CD→ были перпендикулярными, их скалярное произведение должно быть равно нулю. Выразим вектор AB→ и вектор CD→ через их координаты:

AB→ = B - A = (-1 - 1; 1 - 0; 2 - 1) = (-2; 1; 1) CD→ = D - C = (0 - 0; 0 - 2; c - (-1)) = (0; -2; c + 1)

Скалярное произведение векторов AB→ и CD→ вычисляется как сумма произведений соответствующих координат:

AB→ · CD→ = (-2)(0) + (1)(-2) + (1)(c + 1) = -2 - 2 + c + 1 = -3 + c

Таким образом, чтобы векторы AB→ и CD→ были перпендикулярными, -3 + c должно быть равно нулю:

-3 + c = 0

Решаем уравнение:

c = 3

Таким образом, точка D(0;0;3) на оси z делает векторы AB→ и CD→ перпендикулярными.