Question

На сторонах AB, BC, CD, DA параллелограмма ABCD взяты соответственно точки M, N, K, L, делящие эти стороны в одном и том же отношении (при обходе по часовой стрелке). Докажите, что при пересечении прямых AN, BK, CL и DM получится параллелограмм, причём его центр совпадает с центром параллелограмма ABCD. решите с рисунком

Answer 1

Ответ:

Доказательство в объяснении.

Объяснение:

1. Треугольники АМD и CKB равны по двум сторонам и углу между ними (AD = BC - противоположные стороны параллелограмма,

AM = CK - равные части (дано) равных отрезков (АВ = CD),

∠А = ∠С - противоположные углы параллелограмма).  =>

∠AMD = ∠CKB (соответственные углы равных треугольников),

∠CKB = ∠ABК (внутренние накрест лежащие углы при параллельных AВ и CD и секущей BK).  =>  ∠AMD = ∠ABF (соответственные углы при прямых ВК и MD и секущей АВ)  =>  BK ‖ MD.

Так же и с треугольниками  ABN и СDL  => AN ‖ CL.

Итак, четырехугольник EFGH - параллелограмм по признаку: противоположные стороны четырехугольника попарно параллельны.

Что и требовалось доказать.

2. Из равенства треугольников BFN и DHL (по стороне  BN=DL и прилежащим углам - доказано выше) имеем: BF = DH,  =>   FK = MH.  =>   MFKH - ‍ параллелограмм и его диагональ FH проходит через середину диагонали MK. Но MK и AC — ‍ диагонали параллелограмма AMCK и делятся пополам в точке пересечения.‍ Значит отрезок FH ‍ проходит через середину AC, точку О. Так же как и отрезок EG (доказывается аналогично).

Что и требовалось доказать.

Answer 2

Для доказательства данного утверждения рассмотрим параллелограмм ABCD и точки пересечения прямых AN, BK, CL и DM.

Докажем сначала, что пересечение прямых AN и BK лежит на прямой AD. Для этого рассмотрим треугольник ABN, где точка M делит сторону AB в том же отношении, что и точка N. По теореме Фалеса (теорема о параллельных прямых, делящих стороны треугольника), прямая AN параллельна прямой BK. Так как AB и CD параллельны и BK делит сторону BC в том же отношении, что и точка K, то прямая BK также делит сторону CD в том же отношении. Аналогично, можно доказать, что прямые AN и DM делят сторону AD в одном и том же отношении.

Теперь рассмотрим параллелограмм ANBK. Прямая AN параллельна стороне BK, и они делятся в одном и том же отношении. Аналогично, сторона BK параллельна прямой AN и делится в том же отношении. Таким образом, по определению параллелограмма ANBK является параллелограммом.

Теперь рассмотрим точку пересечения прямых CL и BK. Обозначим эту точку как O. Поскольку прямые CL и BK параллельны и делят соответствующие стороны в одном и том же отношении, то по теореме Фалеса можно заключить, что точка O делит сторону BC в том же отношении, что и точка K.

Аналогично, рассмотрим параллелограмм CLDM. Прямая CL параллельна стороне DM, и они делятся в одном и том же отношении. Аналогично, сторона DM параллельна прямой CL и делится в том же отношении. Таким образом, по определению параллелограмма CLDM является параллелограммом.

Таким образом, мы доказали, что при пересечении прямых AN, BK, CL и DM получается параллелограмм ANBKCLDM.

Теперь обратим внимание на то, что все четыре прямые AN, BK, CL и DM проходят через центр параллелограмма ABCD, так как они делят стороны в одном и том же отношении. Это означает, что пересечение этих прямых также будет проходить через центр параллелограмма ABCD.

Для полной уверенности, можно представить себе, что параллелограмм ABCD натянут на резиновом каркасе. Точки M, N, K и L соответствуют различным уровням растяжения резинового каркаса на сторонах ABCD. При пересечении прямых AN, BK, CL и DM мы получим новый параллелограмм, так как резиновый каркас сохраняет свою форму, и его центр останется в центре.

На рисунке ниже показан пример для наглядности:

cssCopy code
       C------N------L
      /       |       \
     /        |        \
    /         |         \
   /          |          \
  /           |           \
 B------------O------------D
  \           |           /
   \          |          /
    \         |         /
     \        |        /
      \       |       /
       A------K------M

Здесь O - центр параллелограмма ABCD, а параллелограмм ANBKCLDM проходит через точку O и является параллелограммом.

Таким образом, мы доказали, что пересечение прямых AN, BK, CL и DM дает параллелограмм, и его центр совпадает с центром параллелограмма ABCD.