Question

Довести,що коли висота рівнобічної трапеціїї дорівнює її середній лінії,то діагоналі трапеції перпендикулярні

Answer 1

Розв'язання завдання додаю

Answer 2

Для доведення цього твердження спочатку розглянемо властивості рівнобічної трапеції.

Дано: ABDC - рівнобічна трапеція, де AB || DC, AB = DC. Позначимо точку перетину діагоналей трапеції як точку О.

Твердження: Якщо висота трапеції AD дорівнює її середній лінії EF, то діагоналі трапеції AC і BD перпендикулярні.

Доведення:

1. Розглянемо середню лінію EF. Вона проходить через середини бічних сторін трапеції AB і DC, тому EF || AB || DC.
2. Оскільки AD - висота трапеції, то AD перпендикулярна до EF.
3. Також, властивість рівнобічної трапеції дає нам AB = DC. Отже, трикутники ABD і CDB - рівні за двома сторонами і кутом між ними.
4. З рівності сторін AB = DC випливає, що точка О - центральна точка EF, оскільки вона є точкою перетину діагоналей трапеції.
5. З пункту 2 ми знаємо, що AD перпендикулярна до EF, але також можемо сказати, що точка О - серединна точка AD (так як О - центральна точка EF і AD).
6. Оскільки EF - середня лінія трапеції, то вона ділить діагоналі трапеції AC і BD на дві рівні частини.
7. Таким чином, в обох трикутниках AOD і COB, маємо дві пари рівних сторін (AO = OD та CO = OB), а також спільний кут О.

Отже, за теоремою про рівність трикутників (SAS), трикутники AOD і COB є рівними. Але трикутники AOD і COB - це прямокутні трикутники (оскільки AD і EF перпендикулярні). Отже, кут AOD і кут COB - прямі кути.

Таким чином, діагоналі AC і BD трапеції є перпендикулярними.

Отже, ми довели, що коли висота рівнобічної трапеції дорівнює її середній лінії, то діагоналі трапеції перпендикулярні.