Question

Приведите уравнение кривых к каноническому виду. Найдите центр, эксцентриситет, фокусы, асимптоты и директрисы. Сделайте чертеж: а)16x^2 -9y^2 - 64x-54y-161=0 б)9x^2 +16y^2 +90x-32y-335=0

Answer 1

а) Дано уравнение 16x^2 - 9y^2 - 64x  -54y - 161 = 0.

Выделим полные квадраты.

16(x^2 - 4x + 4) - 16*4  - 9(y^2 + 6y + 9) + 9*9 - 161 = 0.

16(x - 2)² - 9(y + 3)²  = 144.

Разделим обе части уравнения на 144.

((x - 6)²/169) + ((y + 5)²/144)  = 1, или так:

(16(x - 2)²)/144) - (9(y + 3)²/144)  = 144/144.

(x - 2)²/9 + (y + 3)²/16  = 1 или в каноническом виде:

(x - 2)²/3² + (y + 3)²/4²  = 1.

Это уравнение гиперболы с центром в точке О(2; -3).

Полуоси гиперболы равны: а = 3, b = 4.

Подробнее параметры и график даны во вложениях.

Answer 2

Для обеих кривых мы приведем уравнения к каноническому виду, после чего найдем характеристики кривых.

а) Уравнение кривой: 16x^2 - 9y^2 - 64x - 54y - 161 = 0

1. Приведем уравнение к стандартному каноническому виду гиперболы: Для этого сначала перенесем свободный член на правую сторону: 16x^2 - 9y^2 - 64x - 54y = 161

Затем завершим квадраты по x и y, добавляя и вычитая соответствующие константы: 16(x^2 - 4x) - 9(y^2 + 6y) = 161

Теперь добавим и вычтем квадраты половины коэффициента перед x и y: 16(x^2 - 4x + 4) - 9(y^2 + 6y + 9) = 161 + 164 - 99

Далее факторизуем полученные квадраты: 16(x - 2)^2 - 9(y + 3)^2 = 36

2. Теперь приведем уравнение к следующему виду, чтобы выразить y через x: (x - 2)^2/36 - (y + 3)^2/4 = 1

Сравнивая с общим уравнением гиперболы, получаем: (h, k) = (2, -3) a^2 = 36 => a = 6 b^2 = 4 => b = 2

3. Характеристики гиперболы: Центр: (h, k) = (2, -3) Эксцентриситет: e = c / a, где c = √(a^2 + b^2) => c = √(36 + 4) = √40 ≈ 2√10 e ≈ 2√10 / 6 ≈ √10 / 3 Фокусы: (h ± c, k) = (2 ± √40, -3) ≈ (2 ± 2√10, -3) Асимптоты: y = k ± (b / a) * (x - h) => y = -3 ± (2/6)(x - 2) ≈ -3 ± (1/3)(x - 2) => y ≈ -3 + (1/3)x - 2/3 и y ≈ -3 - (1/3)x + 2/3 Директрисы: y = k ± (a / e) => y = -3 ± (6 / √10) ≈ -3 ± 6/√10 ≈ -3 ± 6√10/10 ≈ -3 ± 3√10/5

б) Уравнение кривой: 9x^2 + 16y^2 + 90x - 32y - 335 = 0

1. Приведем уравнение к стандартному каноническому виду гиперболы: Для этого перенесем свободный член на правую сторону: 9x^2 + 16y^2 + 90x - 32y = 335

Завершим квадраты по x и y, добавляя и вычитая соответствующие константы: 9(x^2 + 10x) + 16(y^2 - 2y) = 335

Добавим и вычтем квадраты половины коэффициента перед x и y: 9(x^2 + 10x + 25) + 16(y^2 - 2y + 1) = 335 + 925 + 161

Факторизуем полученные квадраты: 9(x + 5)^2 + 16(y - 1)^2 = 660

2. Теперь приведем уравнение к следующему виду, чтобы выразить y через x: (x + 5)^2/(660/9) + (y - 1)^2/(660/16) = 1

Сравнивая с общим уравнением гиперболы, получаем: (h, k) = (-5, 1) a^2 = 660/9 => a ≈ √(660/9) ≈ √220 ≈ 2√55 b^2 = 660/16 => b ≈ √(660/16) ≈ √41 ≈ √(4*10.25) ≈ 2.03

3. Характеристики гиперболы: Центр: (h, k) = (-5, 1) Эксцентриситет: e = c / a, где c = √(a^2 + b^2) => c ≈ √(220 + 41) ≈ √261 ≈ 16.15 e ≈ 16.15 / (2√55) ≈ 1.16 Фокусы: (h ± c, k) = (-5 ± √261, 1) ≈ (-5 ± 16.15, 1) Асимптоты: y = k ± (b / a) * (x - h) => y = 1 ± (2.03 / 2√55)(x + 5) ≈ 1 ± 0.147(x + 5) => y ≈ 1 + 0.147x + 0.735 и y ≈ 1 - 0.147x - 0.735 Директрисы: y = k ± (a / e) => y = 1 ± (2√55 / 1.16) ≈ 1 ± 2.04

Теперь давайте построим чертеж каждой из кривых, используя полученные значения. На чертеже выделите центр, фокусы, асимптоты и директрисы для каждой кривой.