Question

В треугольник АВС вписан параллелограмм AMNP так, что точки M, N, P лежат на сторонах АВ, ВС, АС соотвественно. Известно, что АВ = 6 см, АС = 8 см и MN : NP = 2 : 1. Найдите периметр параллелограмма.

Answer 1

Ответ: Четырехугольник AMNP - параллелограмм, поскольку его противоположные стороны попарно параллельны по условию. Пусть PN=2x, MN=3x (из условия, что PN:MN=2:3). Рассмотрим треугольники АВС и PNC. Они подобны по первому признаку подобия: два угла одного треугольника соответственно равны двум углам друго

Answer 2

Чтобы найти периметр параллелограмма AMNP, нам необходимо вычислить длины его сторон.

Поскольку AMNP - параллелограмм, сторона AM будет равна стороне NP, а сторона MN будет равна стороне AP.

Известно, что MN : NP = 2 : 1. Поэтому длина стороны MN составляет 2x, а длина стороны NP составляет x, где x - некоторая положительная величина.

Поскольку сторона АВ равна стороне MN + AM, и сторона АС равна стороне NP + PС, мы можем составить следующую систему уравнений:

2x + AM = 6 x + PC = 8

Мы знаем, что сторона АВ равна 6 см, поэтому AM + MN = 6. Следовательно, AM + 2x = 6. Выразим AM через x: AM = 6 - 2x.

Теперь мы можем заменить AM во втором уравнении:

x + PC = 8 x + PC = 8 x + (6 - 2x) = 8 x + 6 - 2x = 8 6 - x = 8 2x = 2 x = 1

Теперь, когда мы нашли значение x, мы можем вычислить длины сторон параллелограмма:

AM = 6 - 2x = 6 - 2(1) = 6 - 2 = 4 MN = 2x = 2(1) = 2 NP = x = 1 PC = AC - AP = 8 - NP = 8 - 1 = 7

Теперь, найдя длины всех сторон, мы можем найти периметр параллелограмма AMNP:

Периметр = AM + MN + NP + PC = 4 + 2 + 1 + 7 = 14 см

Таким образом, периметр параллелограмма AMNP равен 14 см.