Question

Точки D и E лежат на продолжениях сторон AB и BC остроугольного треугольника ABC за точки B и C соответственно. Точки M и N — середины отрезков AE и DC. Докажите, что MN > AD/2.

Answer 1

Ответ:

Доказательство в объяснении.

Объяснение:

Ясно, что минимальная длина отрезка MN будет при совпадении точек B и D и точек С и Е. В этом случае M'N' станет средней линией треугольника АВС и будет равна AB (AD)/2.

Оставим точку Е совпадающей с точкой С, а точку D отметим в любом месте на продолжении стороны АВ за точку В.

Тогда M'N - средняя линия треугольника АDC и равна AD/2.

Отметим точку Е  в любом месте на продолжении стороны ВС за точку С. Получим треугольник M'MN в котором  сторона MN > M'N, так как если провести окружность с центром в точке N радиусом NM', то касательная M'H к этой окружности будет пересекать прямую MN в точке Н.

MN = MH+HN  =>

MN >(M'N = AD/2)

=> MN >AD/2.

Что и требовалось доказать.

Answer 2

Для доказательства неравенства MN > AD/2 рассмотрим треугольник ADE и треугольник DMC.

По условию задачи, точки M и N являются серединами отрезков AE и DC соответственно. Следовательно, по свойству серединного перпендикуляра, отрезок MN перпендикулярен отрезку AC и его длина равна половине длины отрезка AC:

MN = AC/2

Теперь рассмотрим треугольник ADM. Так как точка M является серединой отрезка AE, то отрезок AM равен отрезку ME. Аналогично, так как точка N является серединой отрезка DC, то отрезок DN равен отрезку NC.

Поскольку точки D и E лежат на продолжениях сторон AB и BC соответственно, то можно записать следующее:

AD = AM + MD DC = DN + NC

Заметим, что отрезки ME и DN являются равными по длине, так как они являются половинами отрезков AE и DC соответственно:

ME = DN

Подставим эти равенства в выражение для DC:

DC = ME + NC

Теперь сложим уравнения для AD и DC:

AD + DC = AM + MD + ME + NC

Объединим одинаковые слагаемые:

AD + DC = (AM + ME) + (MD + NC)

Поскольку AM + ME = AE и MD + NC = CD, получаем:

AD + DC = AE + CD

Но AE + CD = AC, следовательно:

AD + DC = AC

Подставим это равенство в неравенство MN > AD/2:

MN > AD/2 AC/2 > AD/2

Разделим обе части неравенства на 2:

AC/2 > AD/2 AC > AD

Таким образом, мы доказали, что AC > AD, что эквивалентно неравенству MN > AD/2.