Question

Прямая (x-3)/2=(y+2)/4=z/1 и точка M(2;-1;2). Найти уравнение плоскости (без построений). Помогите пожалуйста

Answer 1

Даны прямая (x-3)/2=(y+2)/4=z/1 и точка M(2;-1;2).

M1(3;-2;0) -уже заданная точка по условию задачи, которая принадлежит прямой  .

Вектор ММ1{3-2;(-2)-(-1);0-2}={1;-1;-2}

q1{2;4;1} - направляющий вектор прямой   (по условию задачи)

Векторы {x-3;y+2;z}, МM1, q1 - компланарны. Поэтому для них можно записать

x - 3      y + 2         z                   (x - 3)*(-1) + (y + 2)*(-4) + z*4 +

  1           -1           -2                + (y + 2)*(-1) + (x - 3)*8 + z*2 =

  2           4           1   =  0.        = 7x - 21 - 5y - 10 + 6z.

Раскрыв определитель системы, приходим к уравнению

7x - 5y+ 6z - 31 = 0.

Это и будет искомое уравнение плоскости, которая проходит через точку M и прямую.

Answer 2

Для того чтобы найти уравнение плоскости, проходящей через точку M(2;-1;2) и перпендикулярной данной прямой, нам понадобится знать вектор нормали этой плоскости.

Первым шагом найдем направляющий вектор прямой. Для этого возьмем коэффициенты при переменных x, y и z в уравнении прямой и составим вектор:

Направляющий вектор прямой: v = (2, 4, 1)

Теперь найдем вектор нормали плоскости. Вектор нормали перпендикулярен вектору направления прямой, поэтому будем искать его через их скалярное произведение, которое равно нулю:

v * n = 0

(2, 4, 1) * (a, b, c) = 0

Теперь решим уравнение:

2a + 4b + c = 0

Мы знаем, что плоскость проходит через точку M(2;-1;2), поэтому подставим координаты этой точки в уравнение плоскости:

2a + 4b + c = 0 2a - b + 2 = 0

Теперь можно найти значения a и b:

2a - b + 2 = 0

1. a = (b - 2)/2

Теперь у нас есть бесконечное количество векторов нормали, так как a и b могут быть любыми числами. Чтобы получить конкретный вектор нормали, мы можем выбрать, например, a = 1 и b = 4:

2. a = 1 b = 4

Теперь найдем c, подставив a и b в уравнение:

2a + 4b + c = 0 21 + 44 + c = 0 2 + 16 + c = 0 c = -18

Таким образом, получаем вектор нормали к плоскости: n = (1, 4, -18).

Теперь, имея точку M(2;-1;2) и вектор нормали n(1, 4, -18), можем записать уравнение плоскости в общем виде:

Ax + By + Cz + D = 0

Подставим координаты точки M в уравнение:

12 + 4(-1) + (-18)*2 + D = 0

2 - 4 - 36 + D = 0

D = 38

Таким образом, уравнение плоскости, проходящей через точку M(2;-1;2) и перпендикулярной прямой, заданной уравнением (x-3)/2=(y+2)/4=z/1, будет иметь вид:

x + 4y - 18z + 38 = 0