Question

Точка O— центр вписанной окружности треугольника ABC, A1, B1, C1 — точки её касания со сторонами BC, AC, AB соответственно. Прямые AO, BO, C1O пересекают прямую A1B1 в точках K, L, M соответственно. Докажите, что ∠LC1M=∠KC1M.

Answer 1

Решение : /////////////////////////////////////////////

Answer 2

Для доказательства равенства углов ∠LC1M и ∠KC1M воспользуемся свойствами вписанной окружности и касательных.

Заметим, что по построению точка A1 является серединой отрезка BC, а точка B1 — серединой отрезка AC. Поэтому, отрезок A1B1 параллелен отрезку AB и равен ему наполовину.

Также, по свойству касательных, отрезки A1K и B1L являются секущими, пересекающимися в точке O.

Рассмотрим треугольник A1B1C1. Поскольку точка O является центром вписанной окружности, угол ∠C1OА1 равен углу ∠C1B1A1. Из параллельности отрезков A1B1 и AB следует, что угол ∠C1B1A1 равен углу ∠C1BA. Таким образом, угол ∠C1OА1 равен углу ∠C1BA.

Поскольку отрезки A1K и B1L являются секущими, ∠C1KА1 и ∠C1LВ1 являются внутренними углами, дополняющими углы ∠C1OА1 и ∠C1B1A1 соответственно. Это означает, что ∠C1KА1 = ∠C1BA и ∠C1LВ1 = ∠C1AB.

Теперь рассмотрим треугольник C1KМ. В этом треугольнике угол ∠C1KМ — это внутренний угол, дополняющий угол ∠C1MK. Так как ∠C1KА1 = ∠C1BA, мы можем записать: ∠C1MK = ∠C1KА1.

Аналогично, рассмотрим треугольник C1LМ. В этом треугольнике угол ∠C1LМ — это внутренний угол, дополняющий угол ∠C1LM. Так как ∠C1LВ1 = ∠C1AB, мы можем записать: ∠C1LM = ∠C1LВ1.

Итак, мы получили, что ∠C1MK = ∠C1KА1 и ∠C1LM = ∠C1LВ1. Но по построению точки M находится на прямой A1B1, следовательно, ∠C1MK = ∠C1LM.

Таким образом, мы доказали, что ∠LC1M = ∠KC1M.