Question

в единичном кубе abcda1b1c1d1 точки P, k, m делят ребра BB1, BC, DC в отношении 2:1,1:3,1:1 соответственно. Найти расстояние между прямыми АP и KM. ​

Answer 1

Пусть A- Начало координат

Ось X - AB

Ось Y - AD

Ось Z - AA1

Координаты точек

P ( 1; 0; 2/3 )  

K ( 1; 1/4 ; 0 )

M (1/2; 1; 0 )

Вектора

AK ( 1; 1/4 ; 0 )

AP ( 1; 0; 2/3 )  

KM (-1/2;3/4;0)

Искомое расстояние

|AP;KM |=|AK*APxKM|/|APxKM| =  |-1/12-6/12|/√(1/4+1/9+9/16) = 7/√133

Answer 2

Для решения данной задачи нам понадобится использовать координаты точек. Пусть координаты вершин куба заданы следующим образом:

A(0, 0, 0), B(1, 0, 0), C(1, 1, 0), D(0, 1, 0), A1(0, 0, 1), B1(1, 0, 1), C1(1, 1, 1), D1(0, 1, 1).

Также обозначим точки P, K и M следующим образом:

P(xP, yP, zP), K(xK, yK, zK), M(xM, yM, zM).

Заданное отношение деления ребра BB1 в отношении 2:1 означает, что точка P делит ребро BB1 таким образом, что BP : BP1 = 2:1. Используя это отношение, можно найти координаты точки P:

xP = 1 - (1 - 1) * (2/3) = 1 - 0 = 1, yP = 0, zP = 1 - (1 - 1) * (2/3) = 1 - 0 = 1.

Теперь найдем координаты точки K, которая делит ребро BC в отношении 1:3:

xK = 1, yK = 1 - (1 - 0) * (1/4) = 1 - 1/4 = 3/4, zK = 0.

И, наконец, найдем координаты точки M, которая делит ребро DC в отношении 1:1:

xM = 0, yM = 1 - (1 - 0) * (1/2) = 1 - 1/2 = 1/2, zM = 0.

Теперь у нас есть координаты точек A, P, K и M. Чтобы найти расстояние между прямыми АP и KM, мы можем использовать формулу расстояния между двумя несовпадающими прямыми в пространстве.

Формула для расстояния между двумя прямыми в пространстве:

d = |(A1 - A2) · n| / |n|,

где A1 и A2 - точки, принадлежащие двум прямым, n - направляющий вектор прямой.

Для прямой АP: A1 = A(0, 0, 0), A2 = P(1, 0, 1), n = (1, 0, 1) - (0, 0, 0) = (1, 0, 1).

Для прямой KM: A1 = K(1, 3/4, 0), A2 = M(0, 1/2, 0), n = (0, 1/2, 0) - (1, 3/4, 0) = (-1, -1/4, 0).

Теперь подставим значения в формулу расстояния между прямыми:

d = |(A1 - A2) · n| / |n| = |(0 - 1, 0 - 3/4, 0 - 0) · (-1, -1/4, 0)| / |-1, -1/4, 0| = |(-1, -3/4, 0) · (-1, -1/4, 0)| / |-1, -1/4, 0| = |1 - 3/16 + 0| / sqrt(1 + 1/16 + 0) = |13/16| / sqrt(17/16) = 13 / (4√17).

Таким образом, расстояние между прямыми АP и KM равно 13 / (4√17).