Question

В треугольнике одна из биссектрис перпендикулярная одной из медиан. Докажите, что в треугольнике есть пара сторон, длины которых отличаются в 2 раза. ​

Answer 1

Рассмотрим BOD и ABO треугольники.

Угол DOB=углу AOB=90°, т.к. ВF перпендикулярна AD

BO-общая

Угол DBO=углу АВО, т.к. BF-биссектриса угла В.

Значит, треугольники равны, след-но АВ=BD

Т.к. AD-медиана, то ВD=1/2 BC след.-но и AB=1/2 BC (BC=2AB), то есть, их длины различны в 2 раза.

Кстати, олимпиада?)

Answer 2

Допустим, у нас есть треугольник ABC, где AD - биссектриса угла A, и AE - медиана, перпендикулярная AD. Пусть D и E лежат на стороне BC, причем точка D находится между точками B и E.

Так как AE - медиана треугольника ABC, то BD = CD (по свойству медианы). По условию задачи, AD перпендикулярна AE. Поэтому угол DAE является прямым углом.

Также, по определению биссектрисы, угол BAD равен углу CAD.

Рассмотрим треугольники ADE и ABD. В этих треугольниках:

1. Угол DAE = 90 градусов (по условию).
2. Угол BAD = углу CAD (по определению биссектрисы).
3. Угол ABD = углу ADE (по общему углу).

Таким образом, треугольники ADE и ABD равны по двум углам и общей стороне AD. Следовательно, они подобны.

В подобных треугольниках соотношение между длинами сторон равно соотношению между соответствующими сторонами.

Так как AD - биссектриса, она делит сторону BC на отрезки BD и CD в соотношении, равном отношению длин смежных сторон треугольников ADE и ABD (по свойству биссектрисы).

Пусть BD = x и CD = x (так как BD = CD). Тогда сторона AE также равна x.

Таким образом, получаем соотношение:

AB/BD = AE/DE

AB/x = x/(2x)

AB = 2x

Таким образом, длина стороны AB отличается от длины стороны BC (которая равна 2x) в 2 раза.