Question

Докажите что если две прямые параллелины третей прямой то они параллельны

Answer 1

Нехай прямі a і b паралельні прямій с. Доведемо, що a || b. Припустимо, що прямі a і b не паралельні, тобто перетинаються в деякій точці М. Тоді через точку М проходять дві прямі, паралельні прямій с.

Але це суперечить аксіомі паралельних прямих (через точку, що не лежить на даній прямій, проходить тільки одна пряма, паралельна даної). Тому наше припущення невірно, а значить, прямі a і b паралельні.

Answer 2

Пусть у нас есть две прямые, назовем их AB и CD, и третья прямая EF, которая параллельна прямым AB и CD.

Для доказательства параллельности прямых AB и CD, нам понадобится применить теорему о параллельных линиях, которая гласит: "Если две прямые параллельны третьей прямой, то они параллельны друг другу".

Чтобы применить эту теорему, нужно установить следующие факты:

1. Прямая EF параллельна прямой AB.
2. Прямая EF параллельна прямой CD.

Докажем первый факт:

Пусть точка M находится на прямой AB, а точка N находится на прямой EF. Предположим, что прямая EF не параллельна прямой AB.

Если EF и AB не параллельны, то они должны пересекаться в некоторой точке, скажем, точке P.

Таким образом, у нас есть следующая ситуация:

• Точка P лежит на прямой EF и на прямой AB.
• Точка N лежит на прямой EF, но не на прямой AB.
• Точка M лежит на прямой AB, но не на прямой EF.

Теперь рассмотрим третью прямую CD. Поскольку EF параллельна CD, то прямая CD не пересекает прямую EF.

Таким образом, у нас есть следующая ситуация:

• Точка P лежит на прямой EF и на прямой AB.
• Точка N лежит на прямой EF, но не на прямой AB.
• Точка M лежит на прямой AB, но не на прямой EF.
• Прямая CD не пересекает прямую EF.

Это противоречие, так как согласно теореме о параллельных линиях, если две прямые пересекают третью прямую в одной точке и не пересекаются между собой, то они параллельны.

Следовательно, наше предположение о том, что прямая EF не параллельна прямой AB, является неверным. Таким образом, прямая EF должна быть параллельна прямой AB.

Аналогичным образом можно доказать, что прямая EF также параллельна прямой CD.

Исходя из теоремы о параллельных линиях, если две прямые параллельны третьей прямой (EF), то они параллельны друг другу. Таким образом, мы доказали, что прямые AB и CD параллельны друг другу.