Question

В трапеции ABCD BC и AD параллельны, BC=2, DA=8. Проведена диагональ AC. Оказалось, что угол ABC равен углу ACD. Найдите AC. Пусть площадь треугольника ACD равна m. Выразите площадь трапеции через m.​

Answer 1

Рассмотрим треугольники BCA и CAD. Так как ABCD – трапеция, то ее основания параллельны, т.е. BC||AD. Для прямых BC, AD и секущей AC углы BCA и CAD являются накрест лежащими, а значит равными. BC/CA=CA/AD, 2/4=4/8, сократим дроби и получим 1/2=1/2. По третьему признаку подобия имеем: две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника, а углы, заключенные между этими сторонами, равны. Следовательно, треугольники BCA и CAD подобны. А у подобных треугольников площади пропорциональны квадратам сходственных сторон. S BCA/S CAD=1^2/2^2=1/4.

Ответ: диагональ AC делит площадь трапеции в соотношении 1:4

Answer 2

Для решения этой задачи мы можем использовать свойства параллельных прямых и подобных треугольников.

Обозначим точку пересечения диагонали AC с боковой стороной BC как точку E.

Так как BC || AD, угол ABC равен углу ACD по свойству параллельных прямых.

Также из подобия треугольников ABC и ACD можно записать следующее соотношение:

AC / AB = AD / AC

AC^2 = AB * AD

AC^2 = 2 * 8

AC^2 = 16

AC = √16

AC = 4

Теперь найдем площадь треугольника ACD. Мы знаем, что площадь треугольника можно найти по формуле:

Площадь = (1/2) * основание * высота

Площадь треугольника ACD равна m, а высота треугольника равна длине боковой стороны BC, то есть 2. Таким образом:

m = (1/2) * AC * 2

m = AC

Теперь мы можем выразить площадь трапеции ABCD через m:

Площадь трапеции = Площадь треугольника ACD + Площадь треугольника ABC

Площадь трапеции = m + m

Площадь трапеции = 2m

Таким образом, площадь трапеции ABCD выражается через площадь треугольника ACD как 2m.