Question

На стороне AC равностороннего треугольника ABC отметили точку M, а на продолжении стороны BC за вершину C отметили точку N так, что AM=CN. Докажите, что BM=MN. ЗАДАЧА РЕШАЕТСЯ С ДОПОЛНИТЕЛЬНЫМ ПОСТРОЕНИЕМ. СРОЧНО ​

Answer 1

На стороне BC отметим точку K, BK=AM=CN

AC-AM =BC-BK => MC=KC

△MCK - равносторонний (равнобедренный с углом 60)

MK=MC, ∠MKC=∠MCK=60

∠MKB=∠MCN (смежные с равными)

△MKB=△MCN (по двум сторонам и углу между ними)

BM=MN

Answer 2

Для доказательства равенства BM = MN проведем дополнительные построения:

1. Проведем медиану CE треугольника ABC из вершины C к стороне AB. Так как треугольник ABC равносторонний, медиана CE также является высотой и медианой.

2. Обозначим точку пересечения медианы CE и стороны AB за точку P.

Теперь рассмотрим равнобедренный треугольник AMC:

1. Поскольку AM = CN (по условию задачи) и треугольник AMC равнобедренный, то угол AMC равен углу ACN.

2. Рассмотрим треугольники ACN и CEB: у них общая сторона AC и равные углы ACN и ECB (поскольку медиана CE делит основание треугольника на две равные части). Таким образом, эти треугольники подобны.

3. Из подобия треугольников ACN и CEB следует, что угол CEB равен углу CAN.

4. Но угол CAN равен углу CAM (так как треугольник AMC равнобедренный), поэтому угол CEB также равен углу CAM.

5. Теперь рассмотрим треугольник BEM: угол BEM равен углу CAM, и угол MEB равен углу ECM (поскольку медиана CE является биссектрисой угла BEC). Таким образом, треугольник BEM также подобен треугольнику CEM.

Из подобия треугольников BEM и CEM следует, что соотношение сторон BM и MN равно соотношению сторон EM и EC (потому что стороны пропорциональны при подобных треугольниках с одинаковым углом). Но EC - это половина стороны AB, а EM - это половина стороны CN, так как M и N являются серединами сторон AB и CN соответственно.

Таким образом, BM = MN. Задача доказана.