Question

Дві сторони трикутника дорівнюють 12 і 18 см, а бісектриса кута між ними ділить третю сторону на відрізки, різниця між якими дорівнює 4 см. Знайдіть периметр трикутника.​

Answer 1

Ответ: 35 $\frac{1}{3}$ см

Объяснение:

Намалюй трикутник АВС

АВ = 12 см, АС = 18 см

З вершини кута А проведена бісектриса АМ, яка ділить сторону ВС на відрізки ВМ і МС.

1) Нехай відрізок ВМ буде х см, тоді відрізок МС буде х + 4 см (за умовою).

2) $\frac{AB}{AC}$ = $\frac{BM}{MC}$  - за теоремою бісектриси.

$\frac{12}{18}$ = $\frac{x}{x+4}$  

12(x+4) = 18x

12x + 4 = 18x

6x = 4

x = $\frac{4}{6}$ = $\frac{2}{3}$ см

Значить відрізок ВМ дорівнює $\frac{2}{3}$ см, а відрізок МС 4 $\frac{2}{3}$ см.

Сторона ВС = ВМ + МС

ВС = 5 $\frac{1}{3}$ см

2) Р ΔАВС = 12 + 18 + 5 $\frac{1}{3}$ = 35 $\frac{1}{3}$ см.

Answer 2

Позначимо сторони трикутника як AB, AC і BC, де AB = 12 см і AC = 18 см. Нехай BD - бісектриса кута BAC, і позначимо точки дотику бісектриси зі сторонами трикутника як D і E, як показано на малюнку нижче:

cssCopy code
       A
      / \
     /   \
  12/     \18
   /       \
  /__BD____\
 B    D     C

За умовою, різниця між відрізками DE і EC дорівнює 4 см. Тобто, DE - EC = 4.

Відомо, що бісектриса кута розділяє протилежну сторону трикутника на відрізки, пропорційні до двох інших сторін кута. Тобто, використовуючи відомі значення сторін AB і AC, можемо записати таке співвідношення:

BD / CD = AB / AC

Підставимо відомі значення:

BD / CD = 12 / 18 BD / CD = 2 / 3

Так як ми знаємо, що різниця між відрізками DE і EC дорівнює 4 см, можемо позначити:

DE = 2x (де x - довжина CD) EC = 3x

Тоді ми можемо записати рівняння:

DE - EC = 4 2x - 3x = 4 -x = 4 x = -4

Зверніть увагу, що знайдена величина x є від'ємною, що геометрично відповідає тому, що точка D лежить на продовженні сторони AC, поза трикутником ABC.

Тепер ми можемо знайти довжину відрізків DE і EC:

DE = 2x = 2(-4) = -8 EC = 3x = 3(-4) = -12

Тепер перейдемо до знаходження довжини сторони BC, використовуючи теорему Піфагора:

BC^2 = BD^2 + CD^2 BC^2 = 2x^2 + x^2 BC^2 = 3x^2 BC = √(3x^2)

BC = √(3*(-4)^2) = √(3*16) = √48 ≈ 6.93 см

Тепер знаємо всі сторони трикутника: AB = 12 см, AC = 18 см і BC ≈ 6.93 см. Тепер можемо знайти периметр трикутника:

Периметр = AB + AC + BC Периметр = 12 + 18 + 6.93 Периметр ≈ 36.93 см

Отже, периметр трикутника дорівнює приблизно 36.93 см.