Question

Шар вписан в куб. найдите радиус шара, если диагональ куба равна 14√3 (рисунок, дано и решение)​

Answer 1

Вписанный шар касается граней куба в их центрах. Расстояние между центрами противоположных граней куба - его высота, она равна ребру. Таким образом диаметр вписанного шара равен ребру куба.

Если ребро куба a, тогда диагональ грани a√2 и диагональ куба √(a^2 +2a^2)=a√3

14√3=a√3 => a=14

Радиус вписанного шара равен 7.

Answer 2

Для решения этой задачи нам понадобится найти связь между радиусом вписанного шара и диагональю куба.

Пусть r - радиус вписанного шара, и d - диагональ куба.

Рисунок представляет собой куб с вписанным шаром, а диагональ куба проходит через центр шара и соединяет противоположные вершины куба.

У нас есть два треугольника: прямоугольный треугольник с гипотенузой, равной диагонали куба, и равнобедренный треугольник с основанием, равным диаметру шара и высотой, равной радиусу шара.

Мы можем применить теорему Пифагора к прямоугольному треугольнику, чтобы найти длину половины диагонали куба:

(1/2) * d^2 = r^2 + r^2

d^2 = 4r^2

d = 2r * sqrt(2)

Также нам известно, что диагональ куба равна 14 * sqrt(3). Подставим это значение:

14 * sqrt(3) = 2r * sqrt(2)

Разделим обе части уравнения на 2 * sqrt(2):

7 * sqrt(3) = r * sqrt(2)

Теперь возводим обе части уравнения в квадрат:

147 = 2 * r^2

Теперь найдем радиус шара, выражая его из уравнения:

r^2 = 147 / 2

r = sqrt(147 / 2)

Таким образом, радиус шара равен sqrt(147 / 2), или можно упростить его дальше:

r = sqrt(73.5)

Таким образом, радиус шара равен sqrt(73.5).