Question

Даю 100 баллов!Докажите,с помощью свойств вектора,что четырехугольник АВСD с вершинами в точках А(-1;5)б В(4;6)бС(3;1)бВ(-2;0) является ромбом

Answer 1

Відповідь:

Пояснення:

Answer 2

Для доказательства того, что четырехугольник ABCD является ромбом, нам нужно показать, что все его стороны равны и хотя бы две из четырех сторон параллельны.

Для начала обозначим координаты точек:

A(-1, 5) B(4, 6) C(3, 1) D(-2, 0)

1. Докажем, что стороны четырехугольника ABCD равны:

Для этого посчитаем длины всех сторон:

• Сторона AB: √[(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2] AB = √[(4 - (-1))^2 + (6 - 5)^2] = √[5^2 + 1^2] = √26

• Сторона BC: √[(x_C - x_B)^2 + (y_C - y_B)^2] BC = √[(3 - 4)^2 + (1 - 6)^2] = √[(-1)^2 + (-5)^2] = √26

• Сторона CD: √[(x_D - x_C)^2 + (y_D - y_C)^2] CD = √[(-2 - 3)^2 + (0 - 1)^2] = √[(-5)^2 + (-1)^2] = √26

• Сторона DA: √[(x_A - x_D)^2 + (y_A - y_D)^2] DA = √[(-1 - (-2))^2 + (5 - 0)^2] = √[1^2 + 5^2] = √26

Все стороны равны √26, таким образом, стороны AB, BC, CD, DA равны между собой.

2. Докажем, что хотя бы две из четырех сторон параллельны:

Чтобы это показать, рассмотрим векторы, соответствующие сторонам AB, BC, CD и DA.

• Вектор AB: (x_B - x_A, y_B - y_A) = (4 - (-1), 6 - 5) = (5, 1)
• Вектор BC: (x_C - x_B, y_C - y_B) = (3 - 4, 1 - 6) = (-1, -5)
• Вектор CD: (x_D - x_C, y_D - y_C) = (-2 - 3, 0 - 1) = (-5, -1)
• Вектор DA: (x_A - x_D, y_A - y_D) = (-1 - (-2), 5 - 0) = (1, 5)

Теперь посмотрим на эти векторы:

AB ≠ BC, значит стороны AB и BC не параллельны. BC ≠ CD, значит стороны BC и CD не параллельны. CD ≠ DA, значит стороны CD и DA не параллельны.

Мы видим, что все четыре стороны не параллельны друг другу. Это означает, что четырехугольник ABCD не может быть параллелограммом (так как у параллелограмма две противоположные стороны параллельны), и, следовательно, может быть только ромбом.

Итак, мы доказали, что все стороны четырехугольника ABCD равны между собой, и все его углы равны 90 градусам, что подтверждает, что ABCD является ромбом.