Question

Дана трапеция АВСД, АД||ВС, диагонали трапеции пересекаются в точке О. S(ВОС) =4, S(СОД)=12. Найти площадь трапеции АВСД.

Answer 1

Диагонали трапеции делят её на части так, что произведения площадей треугольников, прилегающих к противоположным сторонам трапеции, равны, т.е. $S_{AOD}\cdot S_{BOC}=S_{AOB}\cdot S_{COD}$ (Легко доказать, это следует из того, что произведения площадей треугольников, лежащих в вертикальных углах, совпадают)

$\Delta AOB$ и $\Delta COD$ - равновеликие, поскольку $S_{AOB}=S_{ADB}-S_{AOD}=S_{ACD}-S_{AOD}=S_{COD}$ (треугольники ABD и ACD имеют общее основание и одинаковые высоты, поэтому их площади равны)

$S_{AOD}\cdot 4=12\cdot 12\\ \\ S_{AOD}=36$

Площадь трапеции: $S_{ABCD}=12+12+4+36=64$

Answer 2

Для решения данной задачи воспользуемся свойством, что диагонали трапеции делят её на четыре треугольника, два из которых (ВОС и СОД) мы знаем и можем использовать для нахождения площади всей трапеции АВСД.

Площадь треугольника вычисляется по формуле: S = (1/2) * основание * высота.

Обозначим основание треугольника ВОС за b1, высоту этого треугольника за h1, основание треугольника СОД за b2, а высоту этого треугольника за h2.

Так как диагонали трапеции пересекаются в точке О, высоты треугольников ВОС и СОД равны, то есть h1 = h2 = h.

Из условия задачи известны S(ВОС) = 4 и S(СОД) = 12:

(1) S(ВОС) = (1/2) * b1 * h = 4 (2) S(СОД) = (1/2) * b2 * h = 12

Теперь нам нужно найти площадь всей трапеции АВСД, S(АВСД).

Площадь всей трапеции АВСД можно выразить через сумму площадей треугольников ВОС и СОД:

S(АВСД) = S(ВОС) + S(СОД)

S(АВСД) = 4 + 12 = 16

Таким образом, площадь трапеции АВСД равна 16 квадратным единицам (единицы площади, которые были использованы для измерения S(ВОС) и S(СОД)).