Question

Один з катетів прямокутного трикутника дорівнює 4 см. Висота, проведена з вершини прямого кута, поділяє гіпотенузу на два відрізки, довжина відрізка, несуміжного з відомим катетом, – 6 см. Знайдіть другий катет і гіпотенузу. 8 см; 4√3 см 8 см; 4 см 6 см, 8√2 см 2√3 см; 4 см

Answer 1

Ответ:

4√3 см 8 см

Объяснение:

Дано:ΔАВС,кут С=90°,ВС=4 см,СН- висота,АН=6 см

Знайти:АС,АВ

Приймаємо проекцію катета ВС на гіпотенузу ВН за х

Тоді гіпотенуза АВ= АН+х=6+х

ВС²=АВ*ВН

4²=(6+х)х

16=6х+х²

х²+6х-16=0

За теоремою Вієта

х₁+х₂= -6

х₁х₂ = -16

х₁= -8 не підходить,   х₂=2  см-ВН

АВ=АН+ВН=2+6=8 см

За теоремою Піфагора:

АС=√АВ²-ВС²=√8²-4²=√64-16=√48=√16*3=4√3 см

Answer 2

Давайте позначимо невідомий катет як "х" і гіпотенузу як "у".

За властивостями прямокутного трикутника маємо два співвідношення:

1. За теоремою Піфагора: квадрат гіпотенузи дорівнює сумі квадратів катетів.
2. Відношення поділу гіпотенузи висотою: катет * гіпотенуза = два частини гіпотенузи, що утворюються цією висотою.

Запишемо обидва співвідношення:

1. $x^2 + 4^2 = u^2$

2. $4 * u = 6 + (u - 6)$

Тепер розв'яжемо цю систему рівнянь:

Рівняння 2 можна спростити:

$4u = 6 + u - 6$

$4u = u$

$3u = 6$

$u = 6/3$

$u = 2$

Тепер підставимо знайдене значення гіпотенузи (у = 2) у рівняння 1 для знаходження катета:

$x^2 + 4^2 = 2^2$

$x^2 + 16 = 4$

$x^2 = 4 - 16$

$x^2 = -12$

Отже, $x = \sqrt{-12}$, але від'ємний катет не має сенсу в даній задачі, тому відкидаємо від'ємне значення.

Отже, відповідь: другий катет $x = 2$, гіпотенуза $u = 2$.