Question

отношение радиусов сфер,вписанных в два усеченных конуса равно 2. Найдите отношение высот этих усеченных конусов

Answer 1

Высота усечённого конуса равна диаметру вписанной в него сферы, поскольку сфера касается двух параллельных плоскостей оснований.

Таким образом высоты относятся как диаметры вписанных сфер, отношение которых равно отношению радиусов тех же сфер. А это уже известно, 2.

Ответ: 2.

Answer 2

Пусть у нас есть два усеченных конуса с радиусами оснований R₁ и R₂ и высотами h₁ и h₂ соответственно. Из условия задачи, отношение радиусов сфер, вписанных в эти конусы, равно 2. Это означает, что радиусы вписанных сфер будут равны R₁/2 и R₂/2.

Для вписанной сферы радиуса r и усеченного конуса с радиусами оснований R₁ и R₂, верно следующее соотношение:

r = √(R₁ * R₂)

Так как радиусы вписанных сфер равны R₁/2 и R₂/2, получаем:

R₁/2 = √(R₁ * R₂) R₂/2 = √(R₁ * R₂)

Далее решим эту систему уравнений:

Из первого уравнения: R₁²/4 = R₁ * R₂ R₁/4 = R₂ R₁ = 4 * R₂

Подставим это значение R₁ во второе уравнение:

(4 * R₂) / 2 = √(4 * R₂ * R₂) 2 * R₂ = 2 * R₂ R₂ = R₂

Таким образом, получаем, что R₁ = 4 * R₂ и R₂ = R₂, что верно для любого значения R₂. Значит, у нас нет однозначного решения для отношения высот h₁ и h₂, и это отношение может быть любым числом. Таким образом, отношение высот усеченных конусов не определено только по условиям задачи.