Question

В треугольнике ABC известны длины сторон AB = 126 и AC = 147 , точка O - центр окружности, описанной около треугольника ABC. Прямая BD, перпендикулярная прямой AO, пересекает сторону AC в точке D. Найдите CD.

Answer 1

Ответ:

39

Объяснение:

Answer 2

Для решения данной задачи, воспользуемся свойством описанной окружности треугольника.

Шаг 1: Найдем длину стороны BC. Для этого, воспользуемся теоремой косинусов:

В треугольнике ABC: AB = 126, AC = 147, угол BAC = 180° - угол BAO - угол OAC (угол BAO и угол OAC суть углы окружности, вписанные в дуги BC и BC соответственно).

Теперь найдем углы BAO и OAC: Угол BAO - это угол между прямой AO и стороной AB. Так как AO - радиус окружности, а AB - касательная, то угол BAO будет прямым углом. Угол OAC - это угол между прямой AO и стороной AC. Так как AO - радиус окружности, а AC - хорда, то угол OAC равен половине центрального угла BOC, где O - центр окружности, B и C - точки пересечения окружности и сторон треугольника. Полный центральный угол BOC равен 360°, так как это угол вписанный в окружность. Значит, угол OAC = 360° / 2 = 180°.

Теперь можем найти угол BAC: угол BAC = 180° - угол BAO - угол OAC = 180° - 90° - 180° = -90° (заметим, что угол BAC отрицательный, что означает, что точка C лежит вне окружности).

Теперь можем найти сторону BC с помощью теоремы косинусов: BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2 * AB * AC * cos(BAC) BC^2 = 126^2 + 147^2 - 2 * 126 * 147 * cos(-90°) BC^2 = 126^2 + 147^2 + 2 * 126 * 147 BC^2 = 15876 + 21819 BC^2 = 37695 BC = √37695 BC ≈ 194.144

Шаг 2: Найдем длину стороны CD. Для этого, заметим, что треугольник AOD - прямоугольный (перпендикуляр из центра окружности к хорде является радиусом, а радиус всегда перпендикулярен к хорде).

Теперь, применяем теорему Пифагора: AD^2 + OD^2 = AO^2 AD^2 + (BC/2)^2 = (AC/2)^2 AD^2 + (194.144/2)^2 = (147/2)^2 AD^2 + 94.697^2 = 10812.25 AD^2 = 10812.25 - 8942.64 AD^2 = 1869.61 AD = √1869.61 AD ≈ 43.242

Теперь можем найти сторону CD: CD = AC - AD CD = 147 - 43.242 CD ≈ 103.758

Ответ: CD ≈ 103.758.