Question

Вокруг треугольника АВС описана окружность. Точки М, N, К соответственно - средины дуг АВ, ВС, АС, на которые точки А, В, С делят окружность. Докажите, что отрезки MN и ВК перпендикулярны.

Answer 1

Пусть L-точка пересечения MN и BK.

∪KAC=∪KCN

их сумма равна π

От сюда их полусуммы тоже равны и KLM=KLN=$\frac{\pi }{2}$

BK-диаметр, а любой угол, опирающийся на диаметр - прямоугольный, отсюда ∠KLM=90°, отсюда BK⊥MN

(надеюсь, что я правильно сделал, ибо сам жестко туплю)

Answer 2

Для доказательства того, что отрезки MN и ВК перпендикулярны, мы будем использовать свойства описанной окружности и свойства треугольника.

Дано:

1. Вокруг треугольника АВС описана окружность.
2. Точки М, Н, К являются срединами дуг АВ, ВС, АС соответственно.

Чтобы доказать, что отрезки MN и ВК перпендикулярны, мы должны показать, что угол между ними равен 90 градусам.

Доказательство:

Шаг 1: Угол между дугами АВ и АС равен 2 * уголу В (углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны).

Шаг 2: Угол между дугами АВ и ВС также равен 2 * уголу В (срединный угол в окружности равен половине угла, опирающегося на эту дугу).

Теперь мы знаем, что углы ВМН и ВКМ равны углам М и В соответственно (углы, стоящие на одной дуге, равны). Также, углы ВМН и ВКМ образуют прямую угловую сумму (угол между ними равен сумме углов ВМН и ВКМ).

Итак, у нас есть:

1. Угол ВМН = угол М (1)
2. Угол ВКМ = угол В (2)

Также из Шага 1 и Шага 2:

3. Угол М = 2 * угол В (3)
4. Угол ВКМ = 2 * угол В (4)

Теперь сравним углы (1) и (4):

Угол ВМН = Угол ВКМ (по (1) и (4))

Таким образом, углы ВМН и ВКМ равны. А два угла, равные друг другу, образуют прямой угол.

Следовательно, отрезки MN и ВК перпендикулярны.