Question

В треугольник ABC вписана окружность, которая касается сторон AB, BCи CAв точках P, Q и R. Найдите AP, если AB=42см, BC=18см, CA=34см.

Answer 1

Ответ:

27,5 см

Объяснение:

Answer 2

Для решения этой задачи воспользуемся свойствами вписанных окружностей и касательных.

Пусть точка касания окружности с стороной AB обозначается как P, с BC как Q и с CA как R.

Известно, что касательные к окружности из точки касания равны между собой. То есть:

AP = AQ BQ = BR CR = CP

Также известно, что точки касания находятся на равном расстоянии от вершин треугольника, а именно:

AP = AR BQ = BP CR = CQ

Теперь у нас есть система уравнений на основе этих свойств:

1. AP = AQ
2. AP = AR
3. BQ = BP
4. BQ = BR
5. CR = CQ
6. CR = CP

Нам дано, что AB = 42 см, BC = 18 см и CA = 34 см. Также известно, что треугольник ABC вписан в окружность, что означает, что сумма всех углов треугольника равна 180 градусов.

Теперь найдем углы треугольника. Используем закон синусов для каждого из углов:

Для угла A: sin(A) = (BC / AC) = (18 / 34) ≈ 0.5294 A = arcsin(0.5294) ≈ 31.08°

Для угла B: sin(B) = (AC / AB) = (34 / 42) ≈ 0.8095 B = arcsin(0.8095) ≈ 53.13°

Теперь, найдем угол C, зная, что сумма всех углов треугольника равна 180°:

C = 180° - A - B ≈ 180° - 31.08° - 53.13° ≈ 95.79°

Теперь, используем тригонометрические функции для нахождения длины отрезка AP:

AP = 2 * BP * cos(B)

BP = (AB + BC - AC) / 2

BP = (42 + 18 - 34) / 2

BP = 13

AP = 2 * 13 * cos(53.13°)

AP ≈ 2 * 13 * 0.6018 ≈ 15.63 см

Таким образом, длина отрезка AP составляет около 15.63 см.