Question

Острый угол ромба равен 60 градусов.В него вписан квадрат.Найдите соотношение периметров ромба и квадрата

Answer 1

Вписанный квадрат имеет диагонали под углом 45 градусов к диагоналям ромба.

Примем сторону ромба за 1, а сторону вписанного квадрата за х.

Рассмотрим треугольник из половин диагонали ромба и диагонали квадрата. Известна сторона и 2 угла.

Сторона (это половина диагонали ромба) равна 1*cos(60°/2) = 1*(√3/2)  = √3/2. Угол против этой стороны равен 180 - 30 - 45 = 105 градусов.

Половина диагонали квадрата равна х√2/2.

По теореме синусов:

(х√2/2)/sin 30° = (√3/2)/sin 105°.

(х√2/2)/(1/2) = (√3/2)/sin 105°.

Отсюда находим значение стороны вписанного квадрата:

х = √3/(2√2sin 105°) = 0,634.

Ответ: соотношение периметров ромба и квадрата равно

Рр/Рк = 4/(4*0,634) = 1,57735.

Можно перейти к радикалам:

sin 105° = sin (180° - 105°) = sin 75° = sin (30° + 45°) = (1/2)*(√2/2) + (√3/2)*(√2/2) = (√2/4)(1 + √3).

Отсюда х = √3/(1 + √3).

Тогда ответ:  Рр/Рк = 4/(4√3/(1 + √3)) = (1 + √3)/√3.

Answer 2

Ответ:

$\frac{P_{romb} }{P_{kvad}} =\frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{3} }$

Объяснение:

Answer 3

Чтобы найти соотношение периметров ромба и вписанного в него квадрата, нужно знать, как они связаны.

Пусть сторона квадрата равна "а". Так как квадрат вписан в ромб, его диагонали являются биссектрисами углов ромба.

Разложим ромб на два равнобедренных треугольника. Угол между диагоналями ромба равен 60 градусов, поэтому углы треугольников также будут равными и равны 60 градусам. Таким образом, каждый угол одного из треугольников равен 60 градусам, а два других угла равны по (180 - 60) / 2 = 60 градусов.

Так как углы треугольника равны, то треугольник равносторонний, а его стороны равны "а".

Поэтому, периметр ромба составляет 4 * а, а периметр вписанного в ромб квадрата равен 4 * а.

Таким образом, соотношение периметров ромба и квадрата равно:

(периметр ромба) / (периметр квадрата) = (4 * а) / (4 * а) = 1.