Question

Докажите, что отрезки общих ВНЕШНИХ касательных, проведённых к двум окружностям, равны

Answer 1

Ответ:

Отрезки касательных к окружности, проведенных из одной точки, равны и составляют равные углы с прямой, проходящей через эту точку и центр окружности. (св-во касательных)

=>

MB=MD и MA=MC=> AB=CD( т.к MA-MB=AB и MC-MD=CD)

Answer 2

Для того чтобы доказать, что отрезки общих внешних касательных, проведённых к двум окружностям, равны, можно использовать теорему общей внешней касательной.

Пусть у нас есть две окружности O₁ и O₂ с центрами в точках C₁ и C₂ соответственно. Пусть T₁ и T₂ - точки касания внешних общих касательных с окружностями O₁ и O₂, соответственно. Проведем прямую, проходящую через T₁ и T₂.

Теперь рассмотрим треугольники T₁C₁O₁ и T₂C₂O₂. У нас есть:

1. T₁C₁ = T₁O₁ (внешняя касательная к окружности перпендикулярна радиусу, проведенному к точке касания)
2. T₂C₂ = T₂O₂ (аналогично)

Также, у треугольников T₁C₁O₁ и T₂C₂O₂ есть общий угол в точке T₁ (поскольку прямая T₁T₂ проходит через T₁).

Теперь докажем, что у этих треугольников также равны соответствующие углы:

Угол T₁C₁O₁ = угол T₂C₂O₂ (вертикальные углы)

Теперь у нас есть два треугольника с равными сторонами и равными соответствующими углами. Согласно теореме об обратной стороне (Side-Side-Side, SSS), эти треугольники равны.

Теперь, рассмотрим треугольники T₁C₁T₂ и T₁O₁T₂. У нас есть:

1. T₁C₁ = T₁O₁ (доказано выше)
2. T₁T₂ - общая сторона
3. T₂C₁ = T₂O₁ (аналогично)

Это также приводит к выводу, что треугольники T₁C₁T₂ и T₁O₁T₂ равны по теореме об обратной стороне (SSS).

Таким образом, T₁T₂ = T₁T₂, что доказывает, что отрезки общих внешних касательных, проведенных к двум окружностям, равны.