Question

Если длины катетов прямоугольного треугольника являются корнями квадратного уравнения с рациональными коэффициентами и длина одного из катетов равна √5+3.то найти плошадь этого треугольника.

Answer 1

Один корень квадратного уравнения 3+√5, другой 3-√5, уравнение получается такое

((х-3)-√5)*((х-3)+√5)=0

(х-3)²-(√5)²=0

х²-6х+9-5=0

х²-6х+4=0 - это уравнение, у которого рациональные коэффициенты, а длины  катетов являются корнями этого уравнения. Тогда площадь треугольника равна(3+√5)(3-√5)/2=(9-5)/2=2/ед. кв./

Осталось порассуждать, почему именно так подобраны коэффициенты и будет ли этот треугольник единственным.

Я думаю, что рациональные коэффициенты  могли быть получены в результате произведения сопряженных корней.

Как вариант..ответ 2.

Answer 2

Для нахождения площади прямоугольного треугольника, нам необходимо знать длины обоих катетов. У нас дано, что длина одного катета равна √5 + 3.

Пусть а и b - длины катетов. Запишем уравнение квадратного уравнения с рациональными коэффициентами, используя информацию о корнях:

(a - √5 - 3)(a + √5 - 3) = 0

Теперь, найдем значения a:

a - √5 - 3 = 0 a = √5 + 3

a + √5 - 3 = 0 a = -√5 + 3

Так как a не может быть отрицательным (длина не может быть отрицательной), то a = √5 + 3.

Теперь мы знаем оба катета: один равен √5 + 3, а другой катет - это √5 (извлекаем из корня второй корень из уравнения a^2 + b^2 = c^2, где c - гипотенуза).

Теперь можем найти площадь треугольника:

Площадь = (1/2) * a * b Площадь = (1/2) * (√5 + 3) * √5 Площадь = (1/2) * (√5 * √5 + 3 * √5) Площадь = (1/2) * (5 + 3√5) Площадь = (5/2) + (3/2)√5

Итак, площадь прямоугольного треугольника равна (5/2) + (3/2)√5.