Question

Из точки К к плоскости α проведены две наклонные КР и КD. Найдите расстояние от точки К до плоскости α, если КР – КD = 2 см, а длины проекций наклонных равны 9 см и 5 см.

Answer 1

Расстояние от точки К до плоскости — перпендикуляр KO, проведенный от точки до плоскости. Две наклонные и их проекции образуют для прямоугольных треугольника с общим катетом KO. PO и OD ⊥ к КО, т.к. принадлежат плоскости α.

Пусть KD = x см, тогда KP = x+2 см, PO = 9 см, DO = 5 см

Используя т. Пифагора, составим уравнение и найдем переменную:

    (x+2)²−9² = x²−5²

    x²+4x+4−81 = x²−25

    4x = 52

    x = 13

KD = x = 13 см

Для ΔKOD найдем KO:

    KO = √(KD²−DO²)

    KO = √(13²−5²) = √(169−25) = √144 = 12 см

Ответ: Расстояние от точки К до плоскости α равно 12 см.

Answer 2

Для решения этой задачи, мы можем использовать теорему о трёх перпендикулярах (или теорему о высоте). Она гласит, что для любой точки, лежащей вне плоскости, проведенные из этой точки к плоскости перпендикуляры будут равны и образуют правый угол между собой.

Обозначим точку К как P, а точку пересечения КР и КD с плоскостью α - как M.

Пусть KM - высота, проведенная из точки M на плоскость α. Так как KM перпендикулярна плоскости α, она будет перпендикулярна и прямой PD, которая лежит в плоскости α.

Теперь у нас есть прямоугольный треугольник KPM, где KP - это расстояние от точки К до плоскости α, KM - это высота, а MP - это разность проекций КР - КD.

Мы знаем, что KP - MP = 2 см (KP - KD = 2 см, так как MP = KD).

Также, у нас есть проекции наклонных линий на плоскость α: PM = 9 см и KM = 5 см.

Теперь, используя теорему Пифагора в треугольнике KPM, мы можем найти KP:

KP^2 = KM^2 + MP^2 KP^2 = 5^2 + 2^2 KP^2 = 25 + 4 KP^2 = 29 KP = √29 см

Таким образом, расстояние от точки К до плоскости α составляет примерно √29 см.