Question

СРОЧНО!!! ДАЮ 100 Баллов 1) На основании AB равнобедренного треугольника ABC произвольно взяли точку M. Доказать, что AM меньше боковой стороны. 2) В треугольнике CDE точка M лежит на стороне CE, причем угол CMD острый. Доказать, что DE больше DM. 3) В треугольнике MNK угол K равен 37, угол M равен 69 NP – биссектриса треугольника. Доказать, что MP меньше PK. 4) В треугольнике CDE угол E равен 76 , угол D равен 66, EK – биссектриса треугольника. Доказать, что KC больше DK.

Answer 1

+2 задание:

Рассмотрим треугольник  DME:

предположим ,что угол DME - тупой (будет смежным с острым углом этого треугольника) и угол DEM - острый (так как двух углов тупых не может быть в треугольнике по определению и признаку треугольника) .

Если  напротив большего угла в данном треугольнике  лежит самая большая сторона,то  DE>DM.

Что и требовалось доказать. 

+3 задание:

уголN=180-(69+37)=74

уголMNP=74/2=37

угол NPM=180-(37+69)=74

уголNPK=180-(37+37)=69

угол MPN=74

уголNPK=69

уголMPN больше угла NPK, то MPменшеРК

+4 задание:

С=180-76-66=38

ЕК - биссектриса => КЕС=38

С=КЕС => треугольник КЕС равнобедренный, КС=ЕК

В треугольнике против большего угла лежит большая сторона

DEK<D => DK<EK=КС DK<КС

Answer 2

1. Для доказательства первого утверждения, рассмотрим равнобедренный треугольник ABC, где AB = AC. Пусть M - произвольная точка на плоскости.

Требуется доказать, что AM < BC.

Допустим, AM > BC. Тогда по неравенству треугольника для треугольника ABM:

AB + BM > AM

Так как AB = AC, то BM > AM, что означает, что точка M находится за пределами стороны BC. Но это противоречит начальному условию - точка M должна находиться на стороне BC.

Следовательно, AM не может быть больше BC, и, следовательно, AM < BC.

2. В треугольнике CDE, где точка M лежит на стороне CE и угол CMD острый, требуется доказать, что DE > DM.

Мы знаем, что в остроугольном треугольнике наибольшей стороной является сторона противолежащая наибольшему углу. В данном случае, угол CMD острый, следовательно, сторона DE будет больше стороны DM.

3. В треугольнике MNK угол K равен 37, угол M равен 69, а NP – биссектриса треугольника. Требуется доказать, что MP < PK.

Поскольку NP является биссектрисой угла K, угол MPN = K/2 = 37/2. Аналогично, угол NPK = K/2 = 37/2.

Теперь посмотрим на треугольник MPK. Угол MPK = угол MPN + угол NPK = 37/2 + 37/2 = 37.

Таким образом, угол MPK равен 37, и угол K равен 37.

Мы знаем, что в треугольнике наибольшей стороной является сторона противолежащая наибольшему углу. В данном случае, сторона PK будет больше стороны MP, так как угол K больше угла M.

Следовательно, MP < PK.

4. В треугольнике CDE угол E равен 76, угол D равен 66, EK – биссектриса треугольника. Требуется доказать, что KC > DK.

Поскольку EK является биссектрисой угла E, угол KEC = E/2 = 76/2 = 38. Аналогично, угол KED = D/2 = 66/2 = 33.

Теперь посмотрим на треугольник KCD. Угол KCD = угол KEC + угол KED = 38 + 33 = 71.

Мы знаем, что в треугольнике наибольшей стороной является сторона противолежащая наибольшему углу. В данном случае, сторона KC будет больше стороны DK, так как угол K больше угла D.

Следовательно, KC > DK.