Question

Докажите признак параллельности прямых по накрест лежащим углам.

Answer 1

Если при пересечении двух прямых секущей накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны

Answer 2

Для доказательства признака параллельности прямых по накрест лежащим углам, нужно использовать теорему об альтернативных углах. Эта теорема гласит, что если две прямые пересекаются третьей прямой так, что накрест лежащие углы равны между собой, то эти две прямые параллельны.

Формально, если у нас есть две прямые, скажем AB и CD, и третья прямая EF пересекает их так, что углы AEF и CEF равны между собой (то же самое относится к углам BEF и DEF), то прямые AB и CD параллельны.

Давайте предположим, что AB и CD не параллельны. Тогда они должны пересекаться в некоторой точке, скажем, точке G. Рассмотрим треугольники AEG и CEG. У них угол AEF и угол CEF равны между собой (по условию), и угол AEG и угол CEG являются вертикальными углами и также равны. Тогда по признаку равенства треугольников (ПРТ) треугольники AEG и CEG должны быть равны.

Теперь рассмотрим треугольники BEG и DEG. У них угол BEF и угол DEF равны между собой (по условию), и угол BEG и угол DEG являются вертикальными углами и также равны. Снова по ПРТ треугольники BEG и DEG должны быть равны.

Однако, это противоречит аксиоме, которая гласит, что только один треугольник может быть определен с заданными тремя сторонами и тремя углами. Если бы треугольники AEG и CEG были равны, а треугольники BEG и DEG были равны, то AB и CD должны были бы быть параллельными.

Таким образом, наше предположение было неверным, и прямые AB и CD действительно параллельны по признаку накрест лежащих углов.